一、考纲考试要求（逐条对照）
| # | 考试要求 | 对应考点 |
|---|
| 1 | 掌握二次型的概念，会用矩阵表示二次型，了解二次型的秩 | 3.2 |
| 2 | 了解合同变换与合同矩阵的概念，了解合同矩阵的性质 | 3.3 |
| 3 | 理解二次型的标准形、规范形的概念，掌握惯性定理（正负惯性指数） | 3.4 |
| 4 | 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形 | 3.5 |
| 5 | 理解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法（顺序主子式全大于 0、特征值全大于 0 等），了解负定、半正定概念 | 3.6 |
二、知识框架图
第六章 二次型
├─ 表示：f = xᵀAx（A 对称）→ 二次型矩阵 → 秩 r(f) = r(A)
├─ 合同：CᵀAC = B（可逆 C）→ 合同关系 → 同秩、同正负惯性指数（惯性定理）
├─ 标准形/规范形：只含平方项；规范形 ±1 系数；正负惯性指数 p、q
├─ 化法：正交变换法（实对称对角化）/ 配方法
└─ 正定性：正定定义 → 判别（顺序主子式、特征值、惯性指数、合同于 E、A=CᵀC）→ 负定/半正定
主线提示：二次型就是"对称矩阵的语言"。主线是「二次型 ↔ 对称矩阵 ↔ 合同 ↔ 标准形/规范形 ↔ 正定性」。所有问题都能化归为对称矩阵的特征值与主子式问题。
三、二次型及其矩阵表示
1. 二次型的矩阵写法 必考
f(x₁,…,xₙ) = Σᵢ aᵢᵢxᵢ² + 2·Σ(i<j) aᵢⱼxᵢxⱼ = xᵀAx
其中 A 为实对称矩阵：aᵢᵢ 为 xᵢ² 的系数，aᵢⱼ = aⱼᵢ 为 xᵢxⱼ 系数的一半
易错：交叉项 xᵢxⱼ 的系数 2aᵢⱼ 拆成矩阵中对称位置各放 aᵢⱼ（即矩阵元 = 交叉项系数的一半）。例如 f = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² ⇒ A = [1 1; 1 1]。
2. 二次型的秩 中频
r(f) = r(A)，即二次型对应矩阵的秩；可逆线性变换不改变二次型的秩（合同变换保持秩）。
唯一性：给定二次型 f，其对应矩阵 A 是唯一的（实对称矩阵），称为二次型的矩阵。反之对称矩阵唯一决定一个二次型。
四、合同变换与合同矩阵
1. 定义 必考
存在可逆矩阵 C，使 CᵀAC = B ⟺ A 与 B 合同，记 A ≃ B
可逆线性变换 x = Cy 把二次型 xᵀAx 化为 yᵀ(CᵀAC)y
2. 合同的性质 高频
合同 ⇒ 同秩（r(A)=r(B)）
合同 ⇒ 同正惯性指数、同负惯性指数（惯性定理）
合同 ⇒ 对称性保持（A 对称 ⟺ B 对称）
实对称矩阵合同于对角阵（标准形矩阵）与规范形矩阵
相似与合同的区别：相似（P⁻¹AP）保持特征值；合同（CᵀAC）不保特征值但保惯性指数与秩。正交变换下相似与合同一致：Q⁻¹ = Qᵀ，故 QᵀAQ = Q⁻¹AQ 同时是相似也是合同。
五、标准形、规范形与惯性定理
1. 标准形与规范形 必考
标准形：只含平方项，f = d₁y₁² + d₂y₂² + … + dₙyₙ²（dᵢ 可为 0）
规范形：平方项系数只取 1、−1、0，f = y₁²+…+yₚ² − y_{p+1}²−…−y_{p+q}²
- 正惯性指数 p：标准形中正平方项的个数；负惯性指数 q：负平方项的个数；秩 r = p+q。
- 标准形不唯一（系数随变换变），但 p、q（从而规范形）唯一。
2. 惯性定理 必考
惯性定理：实二次型经任何可逆线性变换化成的标准形中，正平方项个数 p 与负平方项个数 q 都不变（取决于二次型本身，与变换无关）。推论：两实对称矩阵合同 ⟺ 正负惯性指数分别相同 ⟺ 秩与符号差 2p−r 相同。
六、化二次型为标准形的方法
1. 正交变换法 必考（大题）
步骤：① 写出对称矩阵 A；② 求 A 的特征值 λ₁,…,λₙ；
③ 求对应特征向量并正交化、单位化，构成正交矩阵 Q；
④ 令 x = Qy，则 f = λ₁y₁² + λ₂y₂² + … + λₙyₙ²（正交变换同时是合同变换）
注意：正交变换法得到的标准形系数就是特征值；不同特征值项要对应 Q 中列的顺序。最终答案写成 f = λ₁y₁²+… 即可（y 是变换后的变量）。
2. 配方法 高频（选填/简答）
- 含平方项：把含 x₁ 的项全部配成完全平方，逐次消去交叉项。例如 f = x₁²+2x₁x₂+x₂²+x₃² = (x₁+x₂)²+x₃²，令 y₁=x₁+x₂, y₂=x₂, y₃=x₃。
- 无平方项（全为交叉项）：先作变换 x₁ = y₁+y₂, x₂ = y₁−y₂ 产生平方项，再配方。
- 配方所用变换必须可逆；可顺便求出变换矩阵 C（x = Cy）。
方法选择：题目要求"正交变换"时必须用特征向量法；只要求"可逆线性变换"时配方法更快捷。两者得到不同标准形但惯性指数相同。
七、正定二次型与正定矩阵
1. 定义 必考
f = xᵀAx 正定 ⟺ 对任意 x≠0，恒有 f(x) > 0
此时称 A 为正定矩阵（A 必为实对称矩阵）
2. 正定判别法（六大等价条件） 必考
| # | 判别条件 | 说明 |
|---|
| ① | 顺序主子式全大于 0 | Δ₁>0, Δ₂>0, …, Δₙ>0（最常用） |
| ② | 特征值全大于 0 | λᵢ > 0（i=1,…,n） |
| ③ | 正惯性指数 p = n | 规范形为 y₁²+…+yₙ² |
| ④ | A 合同于单位阵 E | ∃可逆 C 使 CᵀAC = E |
| ⑤ | 存在可逆矩阵 C 使 A = CᵀC | 分解表示 |
| ⑥ | A 的主对角元素全大于 0 且各阶顺序主子式为正（必要项） | 主对角元 aᵢᵢ>0 是必要条件 |
3. 相关概念 中频（了解）
- 负定：x≠0 时恒有 f(x) < 0 ⟺ −A 正定 ⟺ 奇数阶顺序主子式<0、偶数阶>0。
- 半正定：恒有 f(x) ≥ 0 ⟺ 特征值全 ≥ 0 ⟺ 各阶主子式 ≥ 0（注意是"主子式"不是"顺序主子式"）。
- 半负定：恒有 f(x) ≤ 0；不定：有正有负（特征值有正有负，p、q 均非零）。
易错：正定矩阵的主对角元必须全大于 0（必要条件，不是充分条件）；"各阶顺序主子式 ≥ 0"判定的是半正定，判定正定必须严格大于 0。"|A|>0"只是 n 阶顺序主子式，不能单独判正定。
八、高频考点与易错点
考点 1：二次型 ↔ 对称矩阵互化
交叉项系数除以 2 放对称位置；由矩阵反写二次型不要漏乘 2。
考点 2：正交变换化标准形
特征值即标准形系数；特征向量正交化单位化构造 Q，大题标准流程。
考点 3：配方法化标准形
先配平方再消交叉；无平方项先作 x₁=y₁+y₂、x₂=y₁−y₂ 变换。
考点 4：惯性指数与合同判断
两实对称矩阵合同 ⟺ 秩与正惯性指数相同；用特征值符号定 p、q。
考点 5：正定判别与含参讨论
含参数正定性：顺序主子式全>0 列不等式组求参数范围。
考点 6：与多元极值衔接
Hessian 矩阵正定 ⇒ 极小值点，负定 ⇒ 极大值点（高数衔接）。
易错点清单（考前必看）
- 交叉项 xᵢxⱼ 的矩阵元是系数的一半，回写二次型时交叉项系数要乘 2。
- 二次型矩阵必须是对称矩阵；非对称矩阵不表示二次型。
- 合同要求变换矩阵 C 可逆；合同不保特征值，只保秩与惯性指数。
- 标准形不唯一、规范形唯一；惯性指数 p、q 是"不变量"。
- 正交变换法是"相似+合同"合一：QᵀAQ 即对角阵，系数即特征值；配方法所得系数是配方常数，不一定是特征值。
- 正定 ⟺ 顺序主子式全>0（严格大于）；出现等于 0 只能得半正定（需各阶主子式 ≥0）。
- "特征值全≥0"判半正定；"顺序主子式全≥0"不能单独判半正定（必须所有主子式）。
- 正定矩阵的主对角元全>0 是必要条件不是充分条件（反例：A=[1 2;2 1] 主对角全正但非正定）。
- 负定看 −A 正定或顺序主子式交替符号（奇负偶正），不要与正定符号混淆。
- 两个实对称矩阵同特征值 ⟹ 相似（实对称时成立），但不一定合同；同正负惯性指数 ⟹ 合同，但不一定相似。
九、常用结论速记表
| 结论 | 记忆要点 |
|---|
| f = xᵀAx | A 为实对称矩阵，唯一对应 |
| r(f) = r(A) | 可逆变换不改变秩 |
| 合同 CᵀAC = B | 可逆 C；同秩、同惯性指数 |
| 惯性定理 | 标准形正负项个数不变（p、q） |
| 秩 r = p + q | 正负惯性指数之和 |
| 正交变换标准形系数 | 即特征值 λ₁,…,λₙ |
| 正定 ⟺ 顺序主子式全>0 | 最常用判别法 |
| 正定 ⟺ 特征值全>0 | 与实对称对角化连通 |
| 正定 ⟺ 正惯性指数 p=n | 规范形全为正号 |
| 合同于 E ⟺ 存在可逆 C 使 A=CᵀC | 正定矩阵的分解 |