本章目录
考纲考试要求（逐条对照） 知识框架图 二重积分（概念性质 / 直角坐标 / 极坐标 / 换序） 三重积分（直角 / 柱面 / 球面坐标） 曲线积分（两类） 格林公式与曲线积分路径无关 曲面积分（两类） 高斯公式 / 斯托克斯公式 / 散度与旋度 几何量与物理量应用 高频考点与易错点 常用结论速记表
一、考纲考试要求（逐条对照）
# 考试要求 对应考点 1 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理 6.2 / 6.3 2 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 6.2 / 6.3 3 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 6.4 4 掌握计算两类曲线积分的方法 6.4 5 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数 6.5 6 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分 6.6 / 6.7 7 了解散度与旋度的概念，并会计算 6.7 8 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等） 6.8
二、知识框架图
第六章 多元函数积分学
├─ 重积分：二重（直角 X型/Y型、极坐标、换序）→ 三重（直角、柱面、球面）→ 中值定理
├─ 曲线积分：第一类（对弧长）→ 第二类（对坐标）→ 格林公式 / 路径无关 / 求原函数
├─ 曲面积分：第一类（对面积）→ 第二类（对坐标）→ 高斯公式 / 斯托克斯公式
├─ 场论量：散度 div、旋度 rot
└─ 应用：面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功、流量
主线提示： 本章三条主线：① 重积分——"选坐标系 + 定限"是核心，极坐标/柱面/球面看积分区域的对称结构；② 线面积分——"对称性化简 + 参数化（或投影）计算 + 三大公式（格林、高斯、斯托克斯）转化"；③ 应用——重积分给"质量几何量"，线面积分给"功、流量"。方向（第二类）积分的正负号 与曲面的侧 是最大失分点。
三、二重积分
1. 概念与性质 必考
∬(D) f(x,y) dσ = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ二重积分中值定理： f 连续 ⇒ ∬f dσ = f(ξ,η)·S(D)
∬1 dσ = S(D)（区域面积）；∭1 dV = V（体积）。
对称性： D 关于 x 轴对称，f 关于 y 为奇函数则积分为 0、偶函数则 2 倍；D 关于 y 轴对称同理（看对 x 的奇偶性）。轮换对称性： D 关于 y=x 对称时 ∬f(x,y) = ∬f(y,x)，可两式相加化简（如 ∬(x+y)/(…)=∬(x+y)/(…) 恒等技巧）。
2. 直角坐标计算（X 型 / Y 型） 必考
X 型（先 y 后 x）：∬ f dσ = ∫(a→b) dx ∫(φ₁(x)→φ₂(x)) f(x,y) dy
选择依据： 看积分区域是"上下边界为 x 的函数"（X 型）还是"左右边界为 y 的函数"（Y 型）；被积函数结构（先积的变量对应容易积出的原函数）。换序： 由原积分画区域，再按另一次序重新定限。口诀： 下限曲线、上限曲线，先画的变量做外层。
易错： ① 内层积分的上下限必须是外层变量的函数 ；② 换序时积分限跟着区域的几何边界走，不要机械地对调；③ 被积函数与区域不对称时不能盲目用对称性。
3. 极坐标计算 必考
x = r·cosθ，y = r·sinθ，dσ = r·dr·dθ
适用： 区域为圆、环、扇形或含 x²+y² 的被积函数；极点（原点）在区域内时，内层下限常为 0。典型：∬(D) e^(−(x²+y²)) dσ，D 为全平面 = π。
典型对称简化： 被积函数含 x²+y²、x/y、区域为圆域时优先极坐标；被积函数"整体旋转对称"（只依赖 r）时内层直接积出。
四、三重积分
1. 直角坐标（先一后二 / 先二后一） 必考
先一后二：∭ f dV = ∬(D_xy) dxdy ∫(z₁(x,y)→z₂(x,y)) f(x,y,z) dz
截面法适用： 被积函数只含 z 且截面面积易求（如旋转体区域、被积函数为 g(z) 时用截面法非常高效）。
2. 柱面坐标 高频
x = rcosθ，y = rsinθ，z = z；dV = r·dr·dθ·dz
3. 球面坐标 必考
x = r·sinφ·cosθ，y = r·sinφ·sinθ，z = r·cosφ
注意： 球面坐标的积分因子是 r²sinφ（比柱坐标多乘 r·sinφ），角度 φ 的范围常由锥面确定（如锥面 z=√(x²+y²) 给出 φ = π/4）。
五、曲线积分（两类）
1. 第一类曲线积分（对弧长） 必考
∫(L) f(x,y) ds —— L 为平面曲线，参数方程 x=x(t), y=y(t)（α≤t≤β）：
性质： 与方向无关（ds 恒正）；弧长 = ∫ds。对称性： L 关于 y 轴对称，f 对 x 为奇函数积分为 0；偶函数 2 倍。
2. 第二类曲线积分（对坐标） 必考
∫(L) P dx + Q dy（平面）；∫(L) P dx + Q dy + R dz（空间）
与方向有关： 反向积分变号（∫(−L) = −∫(L)）。物理意义： 变力 F = (P,Q) 沿曲线做的功 W = ∫ P dx + Q dy。关系： 两类曲线积分由切线方向联系：∫P dx + Q dy = ∫(Pcosα + Qcosβ) ds（cosα、cosβ 为有向弧长切向量的方向余弦）。
易错： 第二类积分的参数化要"逆着积分方向"时 t 取负号；闭合曲线常用格林公式；直接参数化时 dx、dy 都要换成 x'(t)dt、y'(t)dt，别只换一个。
六、格林公式与曲线积分路径无关
1. 格林公式 必考（大题）
∮(L⁺) P dx + Q dy = ∬(D) (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy
逆用（补线法）： 被积函数在奇点无定义时，用小圆（或小椭圆）挖掉奇点，在挖掉的小边界上单独计算，再用格林公式。面积公式： S = ½∮(L) x dy − y dx。曲线不闭合时先补一条线使其闭合，补线上的积分单独计算再减去。
2. 曲线积分与路径无关的条件 必考
P、Q 在单连通区域 D 内有连续一阶偏导，以下四条等价：
求原函数方法： ① 折线积分法：u(x,y) = ∫(x₀→x) P(x,y₀)dx + ∫(y₀→y) Q(x,y)dy；② 偏积分法：由 uₓ = P 得 u = ∫P dx + φ(y)，再用 u_y = Q 定出 φ(y)。验证是否全微分先验 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。
七、曲面积分（两类）
1. 第一类曲面积分（对面积） 必考
∬(Σ) f(x,y,z) dS —— 曲面 Σ：z = z(x,y)，投影区域 D_xy：
曲面面积 S = ∬√(1 + zₓ² + z_y²) dxdy；参数化曲面：dS = |r_u × r_v| dudv。
与侧无关（dS 恒正），对称性化简与第一类曲线积分类似。
2. 第二类曲面积分（对坐标） 必考
∬(Σ) P dydz + Q dzdx + R dxdy —— 有向曲面（取定侧）
易错： 第二类曲面积分的符号由曲面侧 决定：投影时若法向量与投影轴正方向成锐角取正、钝角取负；也可先化为两类积分关系 ∬P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∬(Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dS（cosα、cosβ、cosγ 为法向量方向余弦）。
3. 两类曲面积分的关系 中频
∬ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∬ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS
八、高斯公式 / 斯托克斯公式 / 散度与旋度
1. 高斯公式 必考（大题）
∯(Σ⁺) P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭(Ω) (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV
补面法： 曲面不闭合时补一块平面（通常平行于坐标面）使其闭合，减去补面上的积分。挖洞法： 被积函数在 Ω 内有奇点（如 R = 1/(x²+y²+z²) 在原点）时，挖去小球面，在小球面上单独积分。
2. 斯托克斯公式 必考（小题/中档大题）
∮(Γ) P dx + Q dy + R dz = ∬(Σ) (∂R/∂y − ∂Q/∂z) dydz + (∂P/∂z − ∂R/∂x) dzdx + (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy
用途： 把空间闭合曲线积分化为曲面积分；当曲线在平面上（如 xOy 面内的闭曲线）时退回格林公式。
3. 散度与旋度 必考（小题）
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z（高斯公式的积分核）
记忆： 散度是"一点处通量密度"，旋度是"一点处环量密度"。散度 div 对应高斯（通量），旋度 rot 对应斯托克斯（环量），用"通量-散度 / 环量-旋度"配对记忆。
九、几何量与物理量应用
物理量 公式与要点 平面图形面积 / 立体体积 S = ∬dσ；V = ∭dV 曲面面积 S = ∬√(1+zₓ²+z_y²) dxdy（对面积的积分） 弧长 s = ∫ds（第一类曲线积分） 平面薄片质量 / 质心 M = ∬ρ dσ；x̄ = ∬xρ dσ/M，ȳ = ∬yρ dσ/M（均匀时 ρ 提出即形心） 空间体质量 / 质心 M = ∭ρ dV；x̄ = ∭xρ dV/M 等；形心为 ρ=常数情形 转动惯量 Iₓ = ∬y²ρ dσ（平面）；I_z = ∭(x²+y²)ρ dV（空间绕 z 轴）等 引力 薄片/物体对质点引力：dF 分解到坐标轴，Fₓ = ∬/∭ Gρ(x′−x)/r³ dσ/dV 等，用对称性消去分量 变力做功 W = ∫(L) P dx + Q dy + R dz（第二类曲线积分） 流量（通量） Φ = ∬(Σ) v·n dS = ∬ P dydz + Q dzdx + R dxdy（第二类曲面积分）
统一思想： 所有几何物理量都是"密度（或核函数）× 微元"的积分。质量用"密度×体积/面积/线元"，转动惯量是"质量微元×到轴距离平方"，流量是"速度场在法方向的分量×面积微元"。
十、高频考点与易错点
考点 1：二重积分计算与换序
画区域定限；极坐标 dσ = r dr dθ；换序按边界重画区域。
考点 2：三重积分坐标系选择
锥球结构用球面（r²sinφ）；柱状用柱面（r）；旋转体用截面法。
考点 3：两类曲线积分
第一类代入弧长元素 ds；第二类参数化 P x' + Q y'，方向反向变号。
考点 4：格林公式与路径无关
闭曲线用 ∮Pdx+Qdy=∬(Qₓ−P_y)；补线；∂P/∂y=∂Q/∂x 判路径无关并求原函数。
考点 5：高斯与斯托克斯
闭曲面用高斯（补面/挖洞）；空间闭曲线用斯托克斯；符号按侧与方向。
考点 6：物理量积分
质心形心、转动惯量、引力、功、流量——密度×微元，注意对称性。
易错点清单（考前必看）
极坐标的积分因子是 r ，球面坐标是 r²sinφ ，漏乘必错。
第二类曲线/曲面积分方向/侧 相反要变号；第一类与方向/侧无关。
换序时内层上限下限必须与外层变量有关；下限是曲线、上限也是曲线。
对称性使用前先确认区域对称 + 被积函数奇偶性 同时满足。
格林/高斯公式要求 P、Q、R 在区域内一阶偏导连续 ；奇点须挖洞。
路径无关的条件 ∂P/∂y = ∂Q/∂x 只在单连通区域 内等价于积分与路径无关。
曲面积分对 dydz 投影时，投影区域与符号要看曲面侧与坐标轴正向夹角 ，不要机械取正。
斯托克斯公式的曲线方向与曲面侧要满足右手法则 。
转动惯量对"轴"取距离平方：I_z = ∭(x²+y²)ρ dV，不是 x²+y²+z²。
计算第二类曲线积分直接参数化时，若 t 区间与路径方向相反，先交换方向再积分。
十一、常用结论速记表
结论 记忆要点 ∬(D) f dσ 极坐标 f(rcosθ, rsinθ)·r dr dθ ∭ 球面坐标 f·r²sinφ dr dφ dθ ∬(D) e^(−(x²+y²))dσ = π 全平面，极坐标 + 泊松积分 面积 S = ½∮ xdy − ydx 格林公式推论 格林公式 ∮Pdx+Qdy = ∬(Qₓ − P_y)dxdy 路径无关条件 ∂P/∂y = ∂Q/∂x（单连通域内） 第一类曲面微元 dS = √(1+zₓ²+z_y²) dxdy 高斯公式 ∯Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∭(Pₓ+Q_y+R_z)dV div(grad f) = Δf 拉普拉斯算子 rot(grad f) = 0，div(rot F) = 0 场论恒等式 功 W = ∫Pdx+Qdy+Rdz 第二类曲线积分 流量 Φ = ∬v·n dS 第二类曲面积分 转动惯量 I_z = ∭(x²+y²)ρ dV 到转轴距离平方 质心 x̄ = ∭xρdV/M ρ 均匀即形心