一、考纲考试要求（逐条对照）
| # | 考试要求 | 对应考点 |
|---|
| 1 | 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义 | 5.2 |
| 2 | 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质 | 5.2 |
| 3 | 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性 | 5.3 |
| 4 | 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法 | 5.4 |
| 5 | 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法 | 5.5 |
| 6 | 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数 | 5.5 |
| 7 | 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程 | 5.6 |
| 8 | 了解二元函数的二阶泰勒公式 | 5.7 |
| 9 | 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题 | 5.8 |
二、知识框架图
第五章 多元函数微分学
├─ 概念层：多元函数 → 二重极限与连续（路径无关性）→ 有界闭区域性质
├─ 微分层：偏导数 → 全微分（必要/充分条件）→ 可微·连续·偏导存在的关系
├─ 求导技术：链式法则（一阶/二阶）→ 隐函数偏导 → 方向导数与梯度
├─ 几何应用：空间曲线切线法平面 / 曲面切平面法线
└─ 极值层：无条件极值（AC−B² 判别）→ 条件极值（拉格朗日乘数法）→ 最值应用
主线提示：本章核心关系是「可微 ⊂ 连续、可微 ⊂ 偏导存在、偏导存在且连续 ⇒ 可微」；做题主线是「链式法则求偏导 → 方向导数梯度 → 极值最值」。复合函数二阶偏导与拉格朗日乘数法是大题固定考点。
三、多元函数概念、极限与连续
1. 多元函数与二元函数的几何意义 中频
z = f(x,y)，定义域为平面点集 D ⊂ R²；几何意义：空间中的一张曲面（点 (x,y,f(x,y)) 全体）
基本概念：邻域、去心邻域、内点、边界点、开集、闭集、区域、有界闭区域（含：有界 + 闭）。
2. 二重极限与连续 高频（小题）
lim((x,y)→(x₀,y₀)) f(x,y) = A：点 (x,y) 以任何方式趋于 (x₀,y₀) 时 f 都趋于 A
连续：lim f(x,y) = f(x₀,y₀)
- 二重极限存在要求"沿任意路径"极限都相等。要证极限不存在：取两条不同路径（如 y=kx、y=x²、y=kx² 等），极限不同即不存在。
- 证明极限存在常用：夹逼准则 + 极坐标代换（注意 r→0 与 θ 无关才可下结论），或用 |f−A| ≤ 某趋于 0 的量。
- 注意：累次极限（先对 x 后对 y）与二重极限不同，累次极限存在推不出二重极限存在。
3. 有界闭区域上连续函数的性质 中频
有界性与最值定理：连续函数在有界闭区域上必有界、必取到最大值与最小值。介值定理：连续函数在有界闭区域（连通）上取到介于两端点值之间的一切值。注意与一元函数性质类比记忆。
四、偏导数与全微分
1. 偏导数定义与计算 必考
fₓ(x₀,y₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx, y₀) − f(x₀,y₀)] / Δx
f_y(x₀,y₀) = lim(Δy→0) [f(x₀, y₀+Δy) − f(x₀,y₀)] / Δy
求法：求 fₓ 时把 y 看作常数对 x 求导；求 f_y 时把 x 看作常数。
- 偏导数几何意义：fₓ 是曲面被 y=y₀ 平面截得的曲线在 x 方向的切线斜率。
- 分段函数在分界点处的偏导数要用定义求（与一元函数分段点类似）。
- 高阶偏导：fₓₓ、f_yy、f_xy、f_yx。混合偏导相等定理（克莱罗定理）：若 f_xy 与 f_yx 都在某点连续，则 f_xy(x₀,y₀) = f_yx(x₀,y₀)。
2. 全微分 必考
若 Δz = A·Δx + B·Δy + o(√(Δx²+Δy²))，则 z 在 (x₀,y₀) 可微，
dz = A·Δx + B·Δy = fₓ(x₀,y₀)dx + f_y(x₀,y₀)dy
全微分形式不变性：dz = fₓ(u,v)du + f_y(u,v)dv 对中间变量仍成立
3. 可微、连续、偏导数存在的关系 必考（概念题）
可微 ⇒ 连续；可微 ⇒ 偏导存在
偏导连续 ⇒ 可微（充分条件，非必要条件）
偏导存在 ⇏ 连续；连续 ⇏ 偏导存在
易错：① 偏导存在不能推出连续（反例：f(x,y)=xy/(x²+y²)，x²+y²≠0，f(0,0)=0——两偏导存在但极限不存在）；② 偏导存在不能推出可微；③ 判断可微步骤：先看连续、再算 fₓ(0,0)、f_y(0,0)，最后验 lim Δz − (fₓΔx+f_yΔy) 除以 √(Δx²+Δy²) 是否为 0。
五、方向导数与梯度
1. 方向导数 必考
设 l 方向余弦为 (cosα, cosβ)，z=f(x,y) 在点可微，则
∂f/∂l = fₓ·cosα + f_y·cosβ
三元：∂f/∂l = fₓ·cosα + f_y·cosβ + f_z·cosγ
- 方向余弦：cosα = Δx/√(Δx²+Δy²)，cosβ = Δy/√(Δx²+Δy²)（平面），空间同理由方向向量单位化得到。
- 方向导数存在不要求可微（用定义算），但可微时用上述梯度公式最方便。
2. 梯度 必考
grad f = ∇f = {fₓ, f_y}（三元再加 f_z）
关系：∂f/∂l = ∇f · l⁰ = |∇f|·cosθ（θ 为 ∇f 与 l 的夹角）
梯度方向是函数增长最快的方向；|∇f| 是该方向的方向导数最大值
结论：沿梯度方向方向导数最大（= |∇f|）；沿反梯度方向最小（= −|∇f|）；与梯度垂直的方向方向导数为 0（等值线的切线方向）。
六、复合函数链式法则与隐函数求导
1. 复合函数一阶偏导（链式法则） 必考
z = f(u,v)，u = u(x,y)，v = v(x,y)：
∂z/∂x = ∂z/∂u · ∂u/∂x + ∂z/∂v · ∂v/∂x
∂z/∂y = ∂z/∂u · ∂u/∂y + ∂z/∂v · ∂v/∂y
- 一元套一元：z = f(u(x)) ⇒ dz/dx = f'(u)·u'(x)（与一元链式一致）。
- 变量既是自变量又是中间量时，注意区分"全导数"与"偏导数"：如 z = f(x, y, t)，t = t(x,y)，∂z/∂x 时要把通过 t 的路径计入。
2. 复合函数二阶偏导 必考（大题）
∂²z/∂x² = ∂/∂x (∂z/∂u·∂u/∂x + ∂z/∂v·∂v/∂x)——对每一项再用链式法则
注意：∂z/∂u 仍是 u、v 的复合函数，求导时还要继续对 u、v 展开；二阶混合偏导 f_uv = f_vu（连续时）。
易错：对 ∂z/∂u 再求 x 偏导时，漏掉它本身还依赖 u(x,y)、v(x,y) 的链式结构；写结果时经常把 f'₁、f''₁₂ 记号搞混（f'₁ 表示对第一个自变量求偏导）。
3. 隐函数存在定理与隐函数偏导 必考
一个方程 F(x,y)=0：若 F_y ≠ 0，则 dy/dx = −Fₓ/F_y
一个方程 F(x,y,z)=0：∂z/∂x = −Fₓ/F_z，∂z/∂y = −F_y/F_z（F_z ≠ 0）
方程组 { F(x,y,u,v)=0；G(x,y,u,v)=0 }：u、v 对 x、y 的偏导用雅可比行列式（克莱姆法则）解
- 隐函数存在定理：F 有连续偏导、F(x₀,y₀)=0、F_y(x₀,y₀)≠0 ⇒ 在附近唯一确定可导隐函数 y=y(x)。
- 二阶隐函数偏导：对一阶结果再求导，其中 y' 要回代（dy/dx = −Fₓ/F_y）。
- 方程组情形的雅可比：∂u/∂x = −J(F,G; x,v)/J(F,G; u,v)，∂v/∂x = −J(F,G; u,x)/J(F,G; u,v)。
七、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线
1. 空间曲线的切线与法平面 高频
参数方程 r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，切向量 T = {x'(t₀), y'(t₀), z'(t₀)}：
切线：(x−x₀)/x'(t₀) = (y−y₀)/y'(t₀) = (z−z₀)/z'(t₀)
法平面：x'(t₀)(x−x₀) + y'(t₀)(y−y₀) + z'(t₀)(z−z₀) = 0
一般式（两曲面交线）：切向量 T = ∇F × ∇G
2. 曲面的切平面与法线 高频
曲面 F(x,y,z)=0，法向量 n = ∇F = {Fₓ, F_y, F_z}（在点处）：
切平面：Fₓ(x−x₀) + F_y(y−y₀) + F_z(z−z₀) = 0
法线：(x−x₀)/Fₓ = (y−y₀)/F_y = (z−z₀)/F_z
显式 z = f(x,y)：切平面 z−z₀ = fₓ(x−x₀) + f_y(y−y₀)，法向量 {fₓ, f_y, −1}
记忆：「曲线」给切向量（导函数），「曲面」给法向量（梯度）；对显式 z=f(x,y) 先化为 F = f(x,y) − z = 0 再用公式，或直接用法向量 {fₓ, f_y, −1}。
八、二元函数二阶泰勒公式
f(x₀+h, y₀+k) = f(x₀,y₀) + fₓ·h + f_y·k
+ ½(fₓₓ·h² + 2f_xy·h·k + f_yy·k²) + …
一阶微分形式：f₀ + (h∂/∂x + k∂/∂y)f₀ + ½(h∂/∂x + k∂/∂y)²f₀ + …（算子展开记忆）
拉格朗日余项：在三阶偏导连续时，余项 = (1/3!)(h∂/∂x + k∂/∂y)³ f(ξ,η)。该公式用于极值充分条件的证明、近似计算与误差估计，考试常以"写出到二阶的展开式"形式出现。
九、多元函数极值、条件极值与最值
1. 无条件极值 必考
必要条件（驻点）：可微函数在极值点处 fₓ=0，f_y=0（满足的点称为驻点）
充分条件：驻点处令 A = fₓₓ，B = f_xy，C = f_yy，Δ = AC − B²：
① Δ > 0 且 A < 0 ⇒ 极大值；Δ > 0 且 A > 0 ⇒ 极小值
② Δ < 0 ⇒ 不是极值（鞍点）；③ Δ = 0 ⇒ 失效，需用定义讨论
易错：① 驻点不一定是极值点（反例 z = x²−y² 在原点，Δ<0 为鞍点）；② 极值点也可能在不可导点（如 z = √(x²+y²) 在原点），此时用定义判断；③ 判断时 A 的符号才是极大/极小的判据（不是 Δ 本身）。
2. 条件极值（拉格朗日乘数法） 必考（大题）
求 f(x,y,z) 在约束 g(x,y,z)=0 下的极值：
构造 L = f + λg，解方程组 Lₓ=0，L_y=0，L_z=0，g=0
多个约束：L = f + λ₁g₁ + λ₂g₂，解相应的方程组
- 实际应用最值问题中，唯一驻点 + 实际问题存在最值 ⇒ 该驻点即最值点（可免去严格判别）。
- 典型题：曲面上的点到平面最短距离、长方体最大体积（表面积约束）、多元均值不等式证明等。
- 也可用"代入消元"（把约束代入目标函数化为一元/二元无条件极值）。
3. 多元函数最值 必考
有界闭区域上求最值三步：① 求区域内部驻点并计算函数值；② 求边界上的最值（边界用参数方程或拉格朗日乘数法化为条件极值）；③ 比较内部驻点值与边界最值，取最大/最小。应用问题：经济、几何、物理中的最大最小问题，先建立目标函数再求。
十、高频考点与易错点
考点 1：可微性判断
连续 → 偏导存在 → 验 Δz − dz 的高阶小；熟记偏导存在 ⇏ 连续、连续 ⇏ 偏导存在。
考点 2：二重极限不存在
取不同路径（y=kx、y=x² 等）极限不同；存在则夹逼或极坐标（注意与 θ 无关）。
考点 3：复合函数二阶偏导
链式法则逐层展开；∂z/∂u 仍是复合函数；混合偏导 f₁₂ = f₂₁（连续时）。
考点 4：方向导数与梯度
∂f/∂l = ∇f·l⁰；梯度方向最速上升，|∇f| 为最大值。
考点 5：切平面与切线
曲面给法向量（梯度）；曲线给切向量；显式 z=f(x,y) 法向量 {fₓ,f_y,−1}。
考点 6：极值与条件极值
AC−B² 判别；拉格朗日乘数法构造 L；闭区域最值三步骤。
易错点清单（考前必看）
- 偏导存在与连续互不蕴含；偏导存在且可微才可用梯度公式求方向导数。
- 二重极限存在必须"任意路径"，仅沿 x 轴、y 轴趋于相同不够（还要验 y=kx 等一般路径）。
- 复合函数求二阶偏导时先画链式结构图再逐层求导，避免漏项。
- 混合偏导相等需连续性前提，条件不满足时 f_xy ≠ f_yx 可能。
- 拉格朗日乘数法解出的点是可能极值点，实际问题用"唯一驻点即最值"下结论时要确认存在最值。
- AC−B² = 0 时判别法失效，改用定义或沿曲线讨论。
- 切平面法向量方向取 ∇F，但显式 z=f(x,y) 是 {fₓ, f_y, −1}，别混。
- 隐函数求二阶导时，一阶结果里的 y' 要代入再化简。
- 方向导数的方向要单位化后再与梯度做点积。
- 极值点可能在偏导不存在的点，须用定义单独检查。
十一、常用结论速记表
| 结论 | 记忆要点 |
|---|
| 可微 ⇒ 连续、偏导存在 | 偏导连续 ⇒ 可微（最强充分条件） |
| ∂z/∂x = −Fₓ/F_z | 隐函数求导，负号别丢 |
| ∂f/∂l = fₓcosα + f_ycosβ | 方向导数 = 梯度·单位方向 |
| 梯度方向最速上升 | 最大值 |∇f|，负梯度方向最速下降 |
| dz = fₓdx + f_ydy | 全微分，形式不变性适用 |
| 极值充分条件 Δ = AC − B² | Δ>0 且 A>0 极小 / A<0 极大；Δ<0 鞍点 |
| 拉格朗日乘数法 | L = f + λg，偏导为零 + 约束 |
| 曲面显式法向量 | {fₓ, f_y, −1} |
| 两曲面交线切向量 | T = ∇F × ∇G |
| 二阶泰勒算子 | f = f₀ + (h∂ₓ+k∂_y)f₀ + ½(h∂ₓ+k∂_y)²f₀ + … |
| f_xy = f_yx | 需混合偏导连续 |
| 驻点 + 唯一 + 实际问题 | 直接认定最值点 |