本章目录
考纲考试要求（逐条对照） 知识框架图 原函数与不定积分（概念 / 基本公式 / 性质） 换元积分法与分部积分法 定积分的概念与性质 变上限积分函数与牛顿—莱布尼茨公式 定积分的换元与分部（对称区间 / 华里士公式） 反常积分（无穷限 / 瑕积分） 定积分的应用（几何量与物理量） 高频考点与易错点 常用结论速记表
一、考纲考试要求（逐条对照）
# 考试要求 对应考点 1 理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念 3.2 / 3.4 2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法 3.2 / 3.3 / 3.4 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分 3.3 4 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式 3.5 5 了解反常积分的概念，会计算反常积分 3.7 6 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值 3.8
二、知识框架图
第三章 一元函数积分学
├─ 不定积分：原函数概念 → 基本积分公式与性质 → 换元（第一类凑微分/第二类）→ 分部
├─ 定积分：概念与性质（线性/可加/比较/估值/奇偶/周期/中值定理）→ 变上限积分求导 → N-L 公式
├─ 定积分技巧：换元（对称区间）→ 分部 → 华里士公式 → 常用结论
├─ 反常积分：无穷限积分 / 瑕积分（无界函数）→ p-积分比较判别敛散
└─ 应用：面积 / 旋转体体积 / 弧长 / 侧面积 / 平行截面体积 / 功、压力、引力、质心、平均值
主线提示： 本章骨架是「原函数与不定积分 → 定积分 → 反常积分 → 定积分应用」。「求不定积分的能力」是一切积分问题（重积分、曲线曲面积分、微分方程）的基础，换元与分部必须练到条件反射；变上限积分求导与反常积分敛散判断是选择填空题的固定考点。
三、原函数与不定积分
1. 原函数与不定积分概念 必考
若 F'(x) = f(x)，则 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数。
存在定理： 连续函数必有原函数（若 f 在区间上连续，则 ∫f(x)dx 存在）。几何意义： 不定积分是一族平行曲线 y=F(x)+C，同一 x 处切线斜率相同。注意： 原函数不唯一，相差一个常数；∫f(x)dx 的结果必须带 +C（否则扣分）。
易错： ① 忘记 +C；② 含绝对值情形：∫1/x dx = ln|x| + C（注意 |x|）；③ 分段函数求原函数时，需保证原函数在分段点连续（取 C₁、C₂ 使左右衔接）。
2. 基本积分公式（必背） 必考
∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C（α≠−1）； ∫1/x dx = ln|x| + C∫sec²x dx = tan x + C； ∫csc²x dx = −cot x + C ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C； ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
必背高频： ∫sec²x、∫1/(1+x²)、∫1/√(1−x²)、∫tanx = −ln|cosx|+C、∫cotx = ln|sinx|+C、∫secx = ln|secx+tanx|+C、∫cscx = ln|cscx−cotx|+C、∫lnx dx = xlnx − x + C。这些是每年必考的"公式级"结论。
3. 不定积分的性质 中频
① [∫f(x)dx]' = f(x)；d∫f(x)dx = f(x)dx
四、换元积分法与分部积分法
1. 第一类换元法（凑微分） 必考
∫f[φ(x)]·φ'(x)dx = ∫f(u)du（令 u = φ(x)）
常用凑微分： dx = d(x+a)；xdx = ½d(x²)；dx/x = d(lnx)；e^x dx = d(e^x)；cosx dx = d(sinx)；1/x²·dx = −d(1/x)；dx/√x = 2d(√x)。典型： ∫tanx dx = ∫sinx/cosx dx = −∫d(cosx)/cosx = −ln|cosx| + C。
2. 第二类换元法 高频
∫f(x)dx ——令 x = ψ(t)（ψ 单调可导）→ ∫f[ψ(t)]·ψ'(t)dt，最后回代 t = ψ⁻¹(x)
被积函数特征 常用代换 √(a²−x²) x = a·sin t（或 a·cos t），利用 1−sin²t = cos²t √(a²+x²) x = a·tan t，利用 1+tan²t = sec²t √(x²−a²) x = a·sec t（或 x = a·cosh t） 简单无理函数（含 n√(ax+b)） 令 t = n√(ax+b) 有理化 三角函数有理式 万能代换 t = tan(x/2)：sinx=2t/(1+t²)，cosx=(1−t²)/(1+t²)，dx=2dt/(1+t²)
注意： 第二类换元回代时，三角代换需画直角三角形确定 √ 项的对边/邻边关系；变上限定积分换元时"换元必换限"，且要求代换单调。
3. 分部积分法 必考
∫u dv = uv − ∫v du（由 (uv)' = u'v + uv' 积分得到）选 u 口诀： 反对幂指三（反三角、对数、幂、指数、三角），排在前面的作为 u 求导，后面的作为 dv 积分。
典型积分： ∫x·e^x dx = (x−1)e^x + C；∫x·lnx dx = x²/2·lnx − x²/4 + C；∫e^x·sinx dx = e^x(sinx−cosx)/2 + C（循环型，移项解出）；∫x·arctanx dx 等。递推型： Iₙ = ∫sinⁿx dx 用分部建立递推关系（与华里士公式衔接）。
4. 有理函数积分 中频
有理函数 P(x)/Q(x)：先化为多项式 + 真分式；真分式分解为部分分式：
方法： ① 假分式先长除；② 分母因式分解；③ 待定系数求 A、B、M、N；④ 逐项积分（含 ln 与 arctan 型）。
五、定积分的概念与性质
1. 定积分的定义 中频
∫(a→b) f(x)dx = lim(λ→0) Σ(i=1→n) f(ξᵢ)·Δxᵢ（分割、取点、作和、取极限）
定义求极限： 定积分是"和式极限"的特例，可用它反求某些和式极限，如 lim(n→∞) (1/n)Σf(k/n) = ∫(0→1) f(x)dx。
2. 定积分的性质 必考
线性： ∫[k₁f+k₂g] = k₁∫f + k₂∫g。区间可加性： ∫(a→b) = ∫(a→c) + ∫(c→b)（c 在 [a,b] 内，也适用于 a、b、c 任意次序）。比较定理： f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫f ≤ ∫g；估值定理： m(b−a) ≤ ∫f ≤ M(b−a)（m、M 为最值）。定积分中值定理： f 连续 ⇒ ∃ξ∈[a,b]，∫(a→b) f(x)dx = f(ξ)(b−a)。奇偶性（对称区间）： f 奇 ⇒ ∫(−a→a) f = 0；f 偶 ⇒ ∫(−a→a) f = 2∫(0→a) f。周期性： f 周期 T ⇒ ∫(a→a+T) f = ∫(0→T) f（与起点无关）；∫(0→nT) f = n∫(0→T) f。
易错： 比较定理比较的是"函数值"而非"面积"，负数情形要小心；估值定理常用于证明不等式与夹逼；定积分中值定理的 ξ 可以取到端点（闭区间），与微分中值定理的 ξ 在开区间不同。
六、变上限积分函数与牛顿—莱布尼茨公式
1. 变上限积分函数及其导数 必考
F(x) = ∫(a→x) f(t)dt（f 连续），则 F'(x) = f(x)一般情形： F(x) = ∫(φ(x)→ψ(x)) f(t)dt ⇒ F'(x) = f[ψ(x)]·ψ'(x) − f[φ(x)]·φ'(x)
变下限： ∫(x→b) f(t)dt 的导数 = −f(x)（先换限再求导）。上下限均为函数： 用莱布尼茨公式（上式），上限代正、下限代负，各自乘上内层函数的导数。复合被积函数： 被积函数含 x 时（如 ∫(0→x) x·f(t)dt），先利用线性把 x 提出再求导；若含 (x−t) 型，通常先换元（令 u = x−t）化为不含 x 的形式。重要性质： f 连续 ⇒ F(x)=∫(a→x)f 是 f 的原函数；F(x) 的奇偶性、单调性、凹凸性可转化为对 f 的分析。
易错： ① 上限与下限都是变量时，忘记乘内层导数；② 被积函数中混有 x 时不能直接套公式，须先把 x 移出积分号；③ 求极限（洛必达）时，分子是变上限积分可直接求导。
2. 牛顿—莱布尼茨公式 必考
f 在 [a,b] 上连续（或可积且有原函数），F(x) 为 f 的原函数，则∫(a→b) f(x)dx = F(b) − F(a)
使用前提： F(x) 必须是 f(x) 在整个 [a,b] 上的原函数。若 f 在区间内有间断点（特别是瑕点），不能直接用 N-L 公式，需分段处理（如 ∫(−1→1) 1/x² dx 不能用 −1/x 代入，否则符号与敛散都出错）。
七、定积分的换元与分部
1. 定积分换元法 高频
∫(a→b) f(x)dx = ∫(α→β) f[ψ(t)]·ψ'(t)dt（x = ψ(t)，ψ 单调，ψ(α)=a，ψ(β)=b）换元必换限，原变量新变量一一对应，代回后无需回代。
2. 对称区间与华里士公式 必考
∫(−a→a) f(x)dx = 0（f 奇）；= 2∫(0→a) f(x)dx（f 偶）华里士（Wallis）公式： ∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx
华里士公式的完整区间版本：∫(0→π) sinⁿx = 2∫(0→π/2)；∫(0→2π) sinⁿx = 0（n 奇）、4∫(0→π/2)（n 偶），cos 同理。
对称区间技巧： 先看奇偶性化零或加倍；对"偶函数×奇函数"型（如 x·sinx 在对称区间）先化简被积函数，再配合华里士。
3. 定积分分部积分 高频
∫(a→b) u dv = [uv]|(a→b) − ∫(a→b) v du
典型应用： ∫xⁿe^x、∫xⁿlnx、∫e^x sinx（循环）、用分部证明递推公式 Iₙ = (n−1)/n·Iₙ₋₂（结合华里士）。
常用结论： ∫(0→1) xⁿ(1−x)^m dx = n!m!/(n+m+1)!（Beta 函数，可用分部递推证明）；∫(0→+∞) e^(−x²) dx = √π/2（泊松积分，后面概率论会用到）。
八、反常积分
1. 无穷限反常积分 必考
∫(a→+∞) f(x)dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x)dx；∫(−∞→a) 类似；
敛散定义： 极限存在（有限值）则收敛，否则发散。∫(−∞→+∞) 收敛要求两个单侧积分都收敛。
2. 无界函数的反常积分（瑕积分） 必考
f 在 x=a 无界（a 为瑕点）：∫(a→b) f(x)dx = lim(ε→0⁺) ∫(a+ε→b) f(x)dx
易错： 必须先找瑕点（分母零点、对数真数零点、√ 内为 0 等）再判断。典型反例：∫(−1→1) 1/x² dx 发散（瑕点 x=0，且两侧均发散），不可对称地"抵消"。
3. p-积分（比较判别） 必考
无穷限：∫(a→+∞) 1/x^p dx 收敛 ⟺ p > 1（a > 0）
比较判别法： 被积函数非负时，与 p-积分比阶；被积函数变号时看绝对收敛（|f| 收敛则 f 收敛，此时 f 绝对收敛）。极限形式： lim f(x)/(1/x^p) = k（0<k<+∞）时，∫f 与 ∫1/x^p 同敛散。计算技巧： 反常积分的计算 = 先按普通定积分算出原函数，再代入端点取极限；注意 Γ 函数：∫(0→+∞) x^(s−1)e^(−x)dx = Γ(s)。
注意： ① ∫(1→+∞) sinx/x 条件收敛（狄利克雷判别法可证收敛，但 |sinx/x| 发散）；② 判断敛散顺序：找瑕点 → 看正负性 → 比 p-积分 → 再看是否绝对收敛。
九、定积分的应用（几何量与物理量）
1. 平面图形的面积 必考
直角坐标：A = ∫(a→b) |f(x) − g(x)| dx；或对 y 积分 A = ∫(c→d) |φ(y) − ψ(y)| dy
2. 旋转体的体积 必考
绕 x 轴：V = π∫(a→b) [f(x)]² dx（曲边梯形绕 x 轴）
3. 平面曲线的弧长 高频
直角坐标 y=f(x)：s = ∫(a→b) √(1 + y'²) dx
4. 旋转体的侧面积 中频
曲线 y=f(x)（a≤x≤b）绕 x 轴：S = 2π∫(a→b) |f(x)|·√(1 + y'²) dx
5. 平行截面面积已知的立体体积 中频
V = ∫(a→b) A(x) dx（A(x) 为垂直于 x 轴的截面面积）
典型： 两圆柱垂直相交的公共部分、楔形体、旋转椭球等，关键在正确写出 A(x) 的表达式。
6. 物理应用：功、压力、引力、质心形心、平均值 高频（小题或应用题）
物理量 公式与要点 变力做功 W = ∫(a→b) F(x) dx（将路径分段，先求微元 dW = F(x)dx 再积分） 抽水做功 把水逐层抽出：dW = ρg·(层体积)·(提升高度)，再积分 液体压力 P = ∫ ρg·h(x)·l(x) dx（微元 dP = 压强×面积微元，h 为深度） 引力 dF = Gm·dm/r² 分解到坐标轴方向再积分（对称性可消去部分分量） 质心 / 形心 x̄ = ∫x dA / ∫dA（面积形心）；ȳ = ∫y dA / ∫dA；平面薄片质心同理用质量微元 ρ dA 函数平均值 ȳ = 1/(b−a) · ∫(a→b) f(x) dx
建模要点： 物理应用题一律"微元法"：取微元 → 写出微元表达式 → 确定积分限 → 积分。注意单位一致与对称性简化；平均值公式与定积分中值定理对应。
十、高频考点与易错点
考点 1：不定积分计算
凑微分、第二类换元（三角代换）、分部"反对幂指三"；有理函数部分分式。
考点 2：变上限积分求导
上下限均为函数的莱布尼茨公式；被积函数含 x 先提出；配合洛必达求极限。
考点 3：定积分性质应用
奇偶性、周期性、比较定理、估值定理、定积分中值定理；对称区间化简。
考点 4：华里士公式
∫sinⁿx、∫cosⁿx 在 [0,π/2] 的递推结果；n 奇偶分别取值，注意系数 π/2。
考点 5：反常积分敛散
找瑕点、p-积分比较、极限形式判别；绝对收敛与条件收敛。
考点 6：定积分应用
面积、旋转体体积（垫圈/壳层）、弧长、侧面积；功、压力、引力、质心、平均值。
易错点清单（考前必看）
不定积分忘写 +C ；含绝对值时写 ln|x|。换元积分法必须回代 （不定积分）或换限 （定积分），两者不可混。
分部积分选 u 顺序错会导致积分越算越复杂。
∫1/x² dx 的原函数是 −1/x，但在含 x=0 的区间上不可直接 N-L 代入 （瑕积分）。
变上限积分求导时下限是函数时要取负并乘导数 ；被积函数含 x 不能直接求导。
奇偶性只对对称区间 成立；周期函数换积分区间时保证长度为一个周期。
华里士公式仅适用于 [0,π/2]，其他区间要先化到该区间。
判断反常积分前先找所有瑕点 ；区间内瑕点要分段，不能"正负抵消"。
旋转体绕 y 轴用壳层法时微元是 2πx·f(x)dx ，别与垫圈法混淆。
物理应用题设好微元后先定积分限再积分 ；引力、压力注意方向与对称。
十一、常用结论速记表
结论 记忆要点 ∫tanx dx = −ln|cosx| + C 与 (ln|cosx|)' = −tanx 互逆 ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C 与 (arctanx)' = 1/(1+x²) 互逆 ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C 定义域 |x| < 1 ∫lnx dx = xlnx − x + C 分部积分，u=lnx ∫secx dx = ln|secx + tanx| + C 与 ∫cscx dx = ln|cscx − cotx| + C 对应 ∫(a→b) f'(x)dx = f(b) − f(a) N-L 公式，微分与积分互逆 变上限求导 F'(x) = f(ψ)·ψ' − f(φ)·φ' 华里士：∫₀^{π/2} sinⁿx dx n 偶 = (n−1)!!/n!!·π/2；n 奇 = (n−1)!!/n!! ∫₁^{+∞} 1/x^p dx 收敛 ⟺ p > 1 ∫₀^a 1/x^p dx（瑕点 0） 收敛 ⟺ p < 1 ∫(0→+∞) e^(−x²) dx = √π/2 泊松积分，概率论常用 ∫(0→1) xⁿ(1−x)^m dx = n!m!/(n+m+1)! Beta 函数，分部递推 平均值 ȳ = ∫f/(b−a) 定积分中值定理的数值形式