本章目录
考纲考试要求（逐条对照） 知识框架图 第一部分：函数 第二部分：极限 第三部分：连续 高频考点与易错点 常用结论速记表
一、考纲考试要求（逐条对照）
以下为考纲对本章的全部要求，每条对应下文具体知识点，复习时逐条打勾自查。
# 考试要求 对应考点 1 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 3.1 2 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3.1 3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 3.1 4 掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念 3.1 5 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系 3.2 6 掌握极限的性质及四则运算法则 3.2 7 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限 3.2 8 掌握利用两个重要极限求极限的方法 3.2 9 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限 3.2 10 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 3.3 11 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 3.3
二、知识框架图
第一章 函数、极限、连续
├─ 函数：概念与表示法 → 性质（有界/单调/奇偶/周期）→ 复合/反函数/分段/隐函数 → 基本初等函数与初等函数
├─ 极限：数列极限 + 函数极限（左/右极限）→ 性质（唯一/局部有界/局部保号）→ 运算法则 → 两个准则（夹逼/单调有界）→ 两个重要极限 → 无穷小（比较/等价代换）与无穷大
└─ 连续：定义（左/右连续）→ 间断点分类 → 连续函数运算 → 闭区间性质（最值/介值/零点定理）
主线提示： 本章的核心链条是「函数的性态 → 极限的计算 → 连续性的判定 」。极限是微积分最基本运算工具，后续导数（增量比的极限）、定积分（和式极限）、级数（部分和极限）全部依赖它。
三、第一部分：函数
1. 函数的概念与表示法 高频
定义： 设 D 为非空实数集，若对每个 x∈D，按某一确定的对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的函数，记 y=f(x)，x 称为自变量，D 称为定义域，值域为 f(D)。
注意： 函数三要素为定义域、对应法则、值域 。考研判断"两个函数是否相同"只看定义域与对应法则（值域由前两者确定）。如 f(x)=x 与 g(x)=√(x²) 不是同一函数（x<0 时 g(x)=|x|）。
表示法： 解析法、表格法、图形法；会建立应用问题的函数关系（几何、物理建模）。
2. 函数的四大性质 中频
性质 定义要点 备注
有界性 存在 M>0，使 |f(x)| ≤ M（x∈D）
上界/下界/既有上界又有下界；判断常用极限或求导
单调性 x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂)（增）或 >（减）
严格单调函数必存在反函数
奇偶性 定义域关于原点对称，f(-x)=f(x) 偶 / f(-x)=-f(x) 奇
奇×奇=偶、偶×偶=偶、奇×偶=奇；奇函数图像关于原点对称
周期性 存在 T>0，使 f(x+T)=f(x)
最小正周期；sin、cos 周期 2π，tan 周期 π
3. 复合函数、反函数、分段函数、隐函数 高频
复合函数： y=f(u)，u=φ(x)，则 y=f[φ(x)]。复合需保证内层值域与外层定义域相交（u∈D_f）。注意复合顺序不可颠倒。 反函数： 若 y=f(x) 是 D 上的严格单调函数，则存在反函数 x=f⁻¹(y)。图像关于 y=x 对称。求反函数步骤：解出 x、交换 x、y、标明定义域。分段函数： 在不同区间用不同解析式表达的函数，如 |x|、符号函数 sgn x。分段点处要分别考察左右极限与左右连续。隐函数： 由方程 F(x,y)=0 确定的函数，如 x²+y²=1。只需了解概念，求导在第二章。
4. 基本初等函数与初等函数 中频
六类基本初等函数： 幂函数 x^α、指数函数 a^x（a>0,a≠1）、对数函数 logₐx、三角函数（sin、cos、tan、cot、sec、csc）、反三角函数（arcsin、arccos、arctan、arccot）、常数函数 y=C。
初等函数： 由基本初等函数经过有限次 四则运算和复合运算所得到的、能用一个解析式表示的函数。分段函数一般不是 初等函数。
常考图像性质： e^x 与 ln x 互为反函数；arcsin 定义域 [−1,1]、值域 [−π/2,π/2]；arctan 值域 (−π/2,π/2)，x→+∞ 时 arctan x→π/2。
四、第二部分：极限
1. 极限的概念 高频
数列极限： lim(n→∞) xₙ = A ⟺ 对任意 ε>0，存在正整数 N，当 n>N 时 |xₙ−A|<ε。
函数极限： lim(x→x₀) f(x)=A ⟺ 对任意 ε>0，存在 δ>0，当 0<|x−x₀|<δ 时 |f(x)−A|<ε。x→∞ 情形同理。
核心定理： lim(x→x₀) f(x)=A ⟺ 左极限 lim(x→x₀⁻) f(x) = 右极限 lim(x→x₀⁺) f(x) = A。左右极限中有一个不存在或两者不相等，则极限不存在 。典型例子：x→0 时 1/x 无极限（±∞ 不同）、arctan(1/x) 无极限、e^(1/x) 无极限。
2. 极限的性质 中频
唯一性： 极限存在则唯一。局部有界性： 若 lim f(x)=A（有限值），则 f(x) 在 x₀ 的某去心邻域内有界。（极限存在的数列必有界，但有界不一定收敛）局部保号性： 若 lim f(x)=A>0，则 x₀ 某去心邻域内 f(x)>0；推论：f(x)≥0 且极限存在，则极限 ≥0。
3. 极限的四则运算法则 高频
若 lim f(x)=A，lim g(x)=B（A、B 均为有限数），则
使用前提： 参与运算的各部分极限必须都存在且为有限值 （除法分母极限非零）。"∞−∞"、"∞/∞"、"0/0"、"0·∞"、"1^∞"、"∞⁰"、"0⁰" 等为未定式 ，不能直接代法则，需先变形（通分、有理化、等价代换、重要极限、洛必达等）。
4. 极限存在的两个准则 高频
夹逼准则（两边夹）： 若在 x₀ 某去心邻域内 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g(x) = lim h(x) = A，则 lim f(x) = A。常用于 n 项和式的极限、含 sin/cos 震荡项的处理。单调有界准则： 单调有界数列必有极限（单调递增且有上界，或单调递减且有下界）。常用于递推数列 xₙ₊₁=f(xₙ) 证明收敛并求极限。
5. 两个重要极限 必考
① lim(x→0) sin x / x = 1 （推广：lim sin□/□ = 1，□→0）x = e 等价形式 lim(x→0) (1+x)1/x = e，lim(x→0) (1+x)^(a/x) = e^a
易错： 第一重要极限要求"分子与分母是同一无穷小"，如 lim(x→0) sin2x/x = 2；lim(x→0) sin(1/x)/(1/x) 中 1/x→∞ 不是无穷小，不能直接套。第二重要极限核心结构是 "1^∞" 型：(1+无穷小)^(无穷大倒数型指数) ，指数部分取倒数对应。
6. 无穷小量与无穷大量 必考
无穷小： 以 0 为极限的变量。有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界函数的乘积为无穷小（重要技巧： lim x·sin(1/x)=0，x→0）。无穷大： |f(x)| 无限增大。无穷大与无穷小互为倒数（非零前提下）。无穷小的比较： 设 α、β 为 x→x₀ 时的无穷小，lim β/α = 0 则 β 是 α 的高阶无穷小 （记 β=o(α)）；=∞ 则低阶；=c≠0 则同阶 ；=1 则等价 （记 α~β）。
7. 等价无穷小代换（求极限核心技巧） 必考
x→0 时常用等价无穷小（记忆口诀：幂、指、对、三角 ）：
使用规则： 等价无穷小只能用于乘除因子 整体替换，不能 对加减项的局部任意替换（如 x→0 时 lim (tan x − sin x)/x³ 不能直接把 tan x、sin x 都换成 x 得 0，正确做法：tan x−sin x = tan x(1−cos x) ~ x·x²/2 = x³/2，答案为 1/2）。
8. 求极限常用方法汇总 必考
类型 方法 例题提示 0/0 型 等价代换、因式分解约分、有理化、洛必达、泰勒展开 lim (√(1+x)−1)/x ∞/∞ 型 同除最高次幂（抓大头）、洛必达 lim (2x³−x)/(x³+1) ∞−∞ 型 通分化为 0/0 或 ∞/∞ lim (1/sin x − 1/x) 0·∞ 型 取倒数化为 0/0 lim x·ln x (x→0⁺) 1^∞ 型 凑第二个重要极限，或 ln 化指数 lim (1+2/x)^x = e² 0⁰ / ∞⁰ 型 取对数化指数，转为 0·ln lim x^x (x→0⁺) = 1 n 项和式 夹逼准则、定积分定义（后续章节） lim (1/n²+2/n²+…+n/n²)
简化技巧： 含根号差用有理化 ；多项式比值直接比较最高次幂系数；x→0 时 e^x−1 ~ x、ln(1+x) ~ x 用得最多。
五、第三部分：连续
1. 函数连续的定义 高频
f(x) 在 x₀ 处连续 ⟺ lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，等价于下面三条同时成立：
f(x₀) 有定义；
lim(x→x₀) f(x) 存在（即左右极限存在且相等）；
极限值等于函数值。
左连续 ：lim(x→x₀⁻) f(x)=f(x₀)；右连续 ：lim(x→x₀⁺) f(x)=f(x₀)。f 在 x₀ 连续 ⟺ 左连续且右连续。
2. 间断点及其分类 必考
不满足连续三条件之一的点即为间断点，按左右极限情况分类：
类型 判定条件 例子 第一类：可去间断点 左右极限都存在且相等，但不等于 f(x₀) 或 f(x₀) 无定义 y = sin x / x 在 x=0 处 第一类：跳跃间断点 左右极限都存在但不相等 y = |x|/x 在 x=0；sgn x 第二类：无穷间断点 左右极限至少有一个为无穷大 y = 1/x 在 x=0；tan x 在 x=π/2 第二类：振荡间断点 极限不存在且非无穷（反复振荡） y = sin(1/x) 在 x=0
易错： 判断分段函数在分段点处的连续性，必须分别求左右极限 再与函数值比较。可去间断点"可去"意思是补定义 f(x₀)=极限值 即可连续。
3. 连续函数的运算与初等函数的连续性 低频
连续函数的四则运算在其公共定义域内连续（分母非零）；
连续函数的复合函数仍连续；连续严格单调函数的反函数连续；
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 （求初等函数在某点极限 ⟹ 直接代函数值）
4. 闭区间上连续函数的性质 高频
有界性定理： 闭区间上连续函数必有界。最值定理： 闭区间上连续函数必能取到最大值与最小值。介值定理： 设 m、M 分别为最小值与最大值，则对任意 η∈[m,M]，存在 ξ 使 f(ξ)=η。即连续函数取遍中间值。零点定理（介值定理推论）： 若 f(a)·f(b)<0，则存在 ξ∈(a,b) 使 f(ξ)=0。用于证明方程根的存在性。
常考题型： ① 证明方程 f(x)=0 在区间内至少有一根（构造零点定理）；② 证明存在 ξ 使 f(ξ)=ξ（移项构造 F(x)=f(x)−x 再用零点定理）；③ 判断间断点类型（选择/填空）。
六、高频考点与易错点
考点 1：左右极限判别
分段点、|x|、e^(1/x)、arctan(1/x)、[x] 取整函数处，必求左右极限。结论：左右极限不相等或某侧不存在 ⇒ 极限不存在。
考点 2：等价无穷小求极限
0/0 型优先考虑等价代换（仅乘除因子可用），配以有理化处理根号，最后洛必达兜底。
考点 3：1^∞ 型
标准套路：lim (1+g(x))^(1/g(x)·h(x)) = e^(lim h(x)/g(x))，其中 g(x)→0。
考点 4：递推数列极限
先证单调（作差或作商），再证有界，用单调有界准则证收敛；两边取极限求值。
考点 5：间断点分类
先求左右极限：都存在→第一类（相等可去、不等跳跃）；否则第二类（∞ 或振荡）。
考点 6：零点定理证根
构造辅助函数（移项使等式右边为 0），验证区间端点异号，得出存在零点。
易错点清单（考前必看）
等价无穷小不能 直接替换加减项，必须化为乘除因子后才能整体代换。
四则运算法则要求各极限存在且有限，未定式不可直接套用。
"有界 × 无穷小 = 无穷小" 前提是乘积整体，例如 x·sin(1/x)→0 正确，但 sin x·(1/x) 不能这样处理。
第二重要极限底数必须是 (1+无穷小)，指数对应无穷小的倒数；不要写成 (1+x)^x → e（错，应为 e^0=1 于 x→0⁺ 时 x^x→1 情形另论）。
求极限时先代入判断类型，再选方法，避免盲目洛必达（非 0/0、∞/∞ 时洛必达不适用）。
闭区间连续函数的四个定理前提都是"闭区间 上连续 "，缺一不可；开区间或间断都不保证。
连续三条件缺一即间断；f(x₀) 无定义一定间断（可能可去）。
七、常用结论速记表
结论 记忆要点 sin x ~ x，tan x ~ x 第一重要极限的直接推论，x→0 1−cos x ~ x²/2 由 cos 展开或半角公式，x→0 ln(1+x) ~ x，e^x−1 ~ x 指数对数互化，x→0 (1+x)^α−1 ~ αx 广义二项展开，x→0 x−sin x ~ x³/6，tan x−x ~ x³/3 差式等价，用于高阶比较 lim x·sin(1/x) = 0 有界函数 × 无穷小 lim (1+a/x)^x = e^a 第二重要极限推广 arctan x → ±π/2 (x→±∞) 反三角函数渐近值 初等函数在定义区间内连续 求极限直接代值 零点定理 f(a)f(b)<0 ⇒ ∃ξ, f(ξ)=0 证明方程有根的万能入口