一、考纲考试要求（逐条对照）
| # | 考试要求 | 对应考点 |
|---|
| 1 | 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系 | 3.2 / 3.4 |
| 2 | 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分 | 3.3 / 3.4 |
| 3 | 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数 | 3.3 |
| 4 | 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 | 3.3 |
| 5 | 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理 | 3.5 |
| 6 | 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 | 3.6 |
| 7 | 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用 | 3.7 |
| 8 | 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形 | 3.7 |
| 9 | 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径 | 3.8 |
二、知识框架图
第二章 一元函数微分学
├─ 导数：定义（增量比的极限）→ 几何/物理意义 → 可导与连续关系
├─ 求导法则：四则 / 复合链式 / 隐函数 / 参数方程 / 反函数 / 分段点导数 / 高阶导数
├─ 微分：dy = f'(x)dx，一阶微分形式不变性
├─ 中值定理：罗尔 → 拉格朗日 → 柯西 → 泰勒（带皮亚诺 / 拉格朗日余项）
├─ 洛必达法则：0/0、∞/∞ 未定式求极限
└─ 应用：单调性 / 极值 / 凹凸拐点 / 渐近线 / 最值 / 曲率 / 函数作图
主线提示：本章的骨架是「导数定义 → 求导技术 → 中值定理 → 导数应用」。中值定理是证明题的核心工具，导数应用是每年大题的固定出题区间（极值、最值、不等式证明）。
三、导数的概念与几何意义
1. 导数定义 必考
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx = lim(x→x₀) [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)
左导数与右导数：f'(x₀) 存在 ⟺ 左导数 = 右导数。分段函数在分段点、|x| 在 0 处必须用定义判断。
可导与连续的关系：可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导（如 y=|x| 在 x=0 连续但不可导，y=x^(2/3) 同理）。
易错：lim Δy/Δx = f'(x₀) 要求 Δx→0 双向，且分子是"改变量"对应"改变量"。若只给出右侧极限或分子分母不对应（如 f(x)−f(x₀) 与 x−x₀ 不同步），不一定是导数。
2. 导数的几何与物理意义 中频
- 几何意义：f'(x₀) 是曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。
- 切线方程：y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀)；法线方程：y − f(x₀) = −1/f'(x₀) · (x − x₀)（f'(x₀)≠0 时）。
- 物理意义：位移对时间的导数 = 瞬时速度；速度对时间求导 = 加速度。
注意：若 f'(x₀)=0，切线水平，法线铅直；若 f'(x₀)=∞（不可导但切线存在），切线铅直。过曲线外一点求切线时，要设切点再解方程。
四、求导法则
1. 基本初等函数导数公式（必背） 必考
(C)' = 0； (x^α)' = αx^(α−1)； (a^x)' = a^x·ln a（(e^x)' = e^x）
(logₐx)' = 1/(x·ln a)（(ln x)' = 1/x）
(sin x)' = cos x；(cos x)' = −sin x；(tan x)' = sec²x；(cot x)' = −csc²x
(sec x)' = sec x·tan x；(csc x)' = −csc x·cot x
(arcsin x)' = 1/√(1−x²)；(arccos x)' = −1/√(1−x²)
(arctan x)' = 1/(1+x²)；(arccot x)' = −1/(1+x²)
2. 四则运算法则与复合函数求导 必考
(u±v)' = u'±v'； (uv)' = u'v + uv'； (u/v)' = (u'v − uv')/v²（v≠0）
复合函数（链式法则）： y = f(u)，u = φ(x) ⇒ dy/dx = f'(u)·φ'(x)
易错：复合函数求导"由外到内逐层求导相乘"，不漏层。例：y = ln(sin x) ⇒ y' = cos x / sin x = cot x。y = e^(x²) ⇒ y' = 2x·e^(x²)。
3. 隐函数、参数方程、反函数求导 高频
- 隐函数：方程 F(x,y)=0 两边对 x 求导，把 y 看作 x 的函数（y 处每求一次导都乘 y'），再解出 y'。例：x²+y²=1 ⇒ 2x+2yy'=0 ⇒ y'=−x/y。
- 参数方程：x=φ(t), y=ψ(t) ⇒ dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = ψ'(t)/φ'(t)。二阶导：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx = [d(dy/dx)/dt]/(dx/dt)，不可直接对 dy/dx 再求一次 t 导。
- 反函数：y=f(x) 反函数为 x=φ(y)，则 φ'(y) = 1/f'(x)。二阶：φ''(y) = −f''(x)/[f'(x)]³。
4. 分段函数在分段点处的导数 高频
方法：分段点 x₀ 处必须用定义求左、右导数（不可用公式直接代），左右导数相等则该点可导。非分段点用常规求导公式。典型题：f(x)=x²·sin(1/x)（x≠0），f(0)=0，在 0 处可导但导数在 0 处不连续。
5. 高阶导数 高频
莱布尼茨公式：(uv)^(n) = Σ(k=0→n) C(n,k) · u^(k) · v^(n−k)
- 常用高阶导数：(e^x)^(n)=e^x；(sin x)^(n)=sin(x+nπ/2)；(cos x)^(n)=cos(x+nπ/2)；[ln(1+x)]^(n) = (−1)^(n−1)·(n−1)!/(1+x)^n；[(1/(a+x))]^(n) = (−1)^n·n!/(a+x)^(n+1)。
- 求法技巧：先降幂/裂项（如 1/(x²−1) 裂成 1/(x−1)−1/(x+1) 形式）、展开成幂级数（泰勒）后逐项求导、找规律归纳。
五、微分
1. 微分的定义与关系 中频
若 Δy = A·Δx + o(Δx)（A 为常数），则称 f 在 x₀ 可微，A·Δx 称为微分，记 dy = A·Δx = f'(x₀)dx。
可微 ⟺ 可导（一元函数），且 dy = f'(x)dx。
几何意义：dy 是切线纵坐标的增量（Δy 是曲线增量），Δy − dy = o(Δx) 是更高阶小量。近似计算：f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx。
2. 微分法则与一阶微分形式不变性 中频
四则：d(u±v)=du±dv；d(uv)=vdu+udv；d(u/v)=(vdu−udv)/v²
一阶微分形式不变性：无论 u 是自变量还是中间变量，dy = f'(u)du 恒成立（复合函数时 du=φ'(x)dx）。可用于"凑微分"和隐函数微分。
注意：形式不变性仅对一阶微分成立，高阶微分 d²y 对中间变量无形式不变性。
六、微分中值定理（证明题核心）
1. 三大中值定理 必考
| 定理 | 条件 | 结论 |
|---|
| 罗尔定理 |
f 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导，且 f(a)=f(b) |
∃ξ∈(a,b)，使 f'(ξ)=0 |
| 拉格朗日中值定理 |
f 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导 |
∃ξ∈(a,b)，使 f(b)−f(a) = f'(ξ)(b−a) |
| 柯西中值定理 |
f、g 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导，且 g'(x)≠0 |
∃ξ∈(a,b)，使 [f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ) |
关系：罗尔是拉格朗日当 f(a)=f(b) 的特例；拉格朗日是柯西当 g(x)=x 的特例。
2. 泰勒定理（泰勒公式） 必考
若 f 在含 x₀ 的区间内有直到 n+1 阶导数，则
f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) + f''(x₀)/2!·(x−x₀)² + … + f^(n)(x₀)/n!·(x−x₀)ⁿ + Rₙ(x)
- 拉格朗日余项：Rₙ(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x−x₀)^(n+1)（ξ 介于 x 与 x₀ 之间）——用于不等式与估值。
- 皮亚诺余项：Rₙ(x) = o((x−x₀)ⁿ)——用于求极限。
- 麦克劳林公式：x₀=0 时的泰勒公式。
五个必背麦克劳林展开（x→0）：
e^x = 1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ)
sin x = x−x³/3!+x⁵/5!−…；cos x = 1−x²/2!+x⁴/4!−…
ln(1+x) = x−x²/2+x³/3−…；1/(1−x) = 1+x+x²+…；
(1+x)^α = 1+αx+α(α−1)/2!·x²+…
3. 中值定理证明题方法 必考（大题）
- 证 f'(ξ)=0：用罗尔，找两点使 f 值相等（利用 f(a)=f(b)、零点、定积分中值等）。
- 证 f'(ξ)=k 或等式含 ξ：构造辅助函数 F(x)（移项、积分还原、乘 e 的因子），再用罗尔。常用"还原法"：欲证 f'g−fg'=0 ⟺ (f/g)'=0，取 F=f/g。
- 证含两点 ξ、η 的等式：两次用中值定理（常在两个子区间上分别用拉格朗日，或柯西+拉格朗日组合）。
- 证不等式 f(b)−f(a) 与某值：拉格朗日 + 导数有界估计。
- 证高阶形式：用泰勒公式在适当点展开（如极值点 f'(x₀)=0 处展开）。
七、洛必达法则
若 lim f(x) = lim g(x) = 0（或 ±∞），且 f'(x)、g'(x) 存在、g'(x)≠0，且 lim f'(x)/g'(x) 存在（或为无穷大），则
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
- 适用类型：0/0、∞/∞ 可直接用；0·∞、∞−∞ 先变形；1^∞、0⁰、∞⁰ 取对数化为 0·∞。
- 常与其他方法结合：先等价无穷小代换简化，再洛必达，效率最高。
- 可多次使用，但每次使用前都要检验是否仍为 0/0 或 ∞/∞。
易错：① 非 0/0、∞/∞ 型不可用（如 lim (1+cos x)/1 型 x→∞ 直接得震荡无极限，洛必达会出错）；② 洛必达后极限若不存在（非无穷大），不能断定原极限不存在，需换方法（反例：lim (x+sin x)/x）；③ 与等价代换配合时，先代换再求导往往更快。
八、导数应用（单调、极值、凹凸、渐近线、最值）
1. 单调性判别 高频
在区间 I 内：f'(x)>0 ⇒ f 单调递增；f'(x)<0 ⇒ f 单调递减。注意：f' ≥ 0 且仅在孤立点取等号 ⇒ 严格单调递增。求单调区间步骤：求 f' → 求驻点与不可导点 → 划分区间列表判定。
2. 极值 必考
必要条件：f 在 x₀ 可导且取极值 ⇒ f'(x₀)=0（驻点）。驻点不一定是极值点（如 x³ 在 0）。极值点可能是驻点或不可导点。
- 第一充分条件：x₀ 两侧 f' 变号 ⇒ 极值（左正右负极大，左负右正极小）；不变号则非极值。
- 第二充分条件：f'(x₀)=0 且 f''(x₀)≠0 ⇒ f''(x₀)<0 极大，f''(x₀)>0 极小。f''(x₀)=0 时失效，回第一充分条件。
3. 凹凸性与拐点 高频
若区间内 f''(x)>0 ⇒ 凹（曲线开口向上）；f''(x)<0 ⇒ 凸（开口向下）。拐点：曲线凹凸性改变的点。拐点处 f''(x₀)=0 或不存在，且 f'' 在该点两侧变号。
易错：f''(x₀)=0 只是拐点的必要条件，还需两侧 f'' 变号。如 f(x)=x⁴ 在 0 处 f''=0 但不是拐点。拐点是曲线上的一点，须写坐标 (x₀, f(x₀))。
4. 渐近线 高频
| 类型 | 求法 |
|---|
| 水平渐近线 | lim(x→+∞) f(x)=A 或 lim(x→−∞) f(x)=A ⇒ y=A |
| 铅直渐近线 | lim(x→x₀⁻或⁺) f(x)=±∞ ⇒ x=x₀（通常是无定义点、分母零点） |
| 斜渐近线 | y=kx+b：k=lim f(x)/x，b=lim[f(x)−kx]（x→+∞ 或 −∞ 分别求） |
记忆：同一方向（x→+∞）水平与斜渐近线最多一条；无理函数（如 √(x²+x)）常用有理化求斜渐近线。
5. 最大值与最小值 必考（应用题）
- 闭区间：比较所有驻点、不可导点处的函数值与端点值，最大者为最大值。
- 开区间 / 实际问题：唯一驻点 + 实际问题确有最值 ⇒ 该驻点即最值点。
- 常用结论：x>0 时 x·ln x 在 x=1/e 取最小；a·x + b/x（a,b>0）在 √(b/a) 取最小（均值不等式思想）。
- 典型应用：最大收益/利润、最小成本、几何最值（面积、体积、距离）、最优时间等建模题。
九、曲率
曲率： K = |y''| / (1 + y'²)^(3/2)
曲率半径： R = 1/K（K≠0）
参数方程： K = |x'y'' − y'x''| / (x'² + y'²)^(3/2)
曲率圆：过曲线点 M，与曲线在该点有相同切线且曲率相同的圆，圆心在法线上，半径 R=1/K。直线的曲率处处为 0。
注意：曲率公式中的 y'、y'' 都指对 x 的导数；参数方程形式直接用参数求导表示。此考点多出选择/填空，记住公式即可。
十、高频考点与易错点
考点 1：导数定义应用
分段点、抽象函数 f'(x₀) 用定义求；f(x₀) 已知时求组合极限，凑成增量比形式。
考点 2：隐函数与参数方程求导
隐函数"每层乘 y'"；参数方程二阶导必须"先对 t 求导再除以 dx/dt"。
考点 3：中值定理证明
构造辅助函数 + 罗尔；双点问题两次中值定理；含 ξ 高阶用泰勒展开。
考点 4：洛必达求极限
先判型，先等价代换再洛必达；1^∞ 取对数；注意洛必达失效情形。
考点 5：极值最值综合
含参函数讨论单调区间、极值、最值（大题常客）；应用题建函数模型。
考点 6：泰勒公式应用
求高阶导数、求极限（皮亚诺余项）、证不等式（拉格朗日余项）、近似计算。
易错点清单（考前必看）
- 可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导。判断可导性用定义求左右导数。
- 分段点处不可直接用求导公式，必须用定义。
- 复合函数求导漏层：y=sin²x 的导数 = 2sinx·cosx，不是 cos²x。
- 参数方程 d²y/dx² ≠ (d²y/dt²)/(d²x/dt²)，正确做法是 d(dy/dx)/dt ÷ (dx/dt)。
- 洛必达使用前提是 0/0 或 ∞/∞，否则错误；洛必达失效时改用夹逼或定义。
- 极值点 ≠ 驻点：不可导点也可能是极值点；驻点不一定是极值点。
- 拐点需要 f'' 变号，仅 f''=0 不够（反例 y=x⁴）。
- 求斜渐近线要分别考虑 x→+∞ 与 x→−∞；注意与水平渐近线同方向不共存。
- 微分 dy = f'(x)dx 中 dx 是自变量的微分；近似公式中 |Δx| 要小。
- 泰勒展开要写对余项类型：求极限用皮亚诺，证不等式用拉格朗日。
十一、常用结论速记表
| 结论 | 记忆要点 |
|---|
| (ln x)' = 1/x | 与 ∫1/x dx = ln|x|+C 对应 |
| (tan x)' = sec²x，∫sec²x dx = tan x | 互为逆运算，可互推 |
| (arcsin x)' = 1/√(1−x²) | 定义域 |x|<1 |
| (arctan x)' = 1/(1+x²) | 定义域全体实数 |
| 莱布尼茨公式 | (uv)^(n)=Σ C(n,k) u^(k) v^(n−k) |
| 罗尔 ⇒ 拉格朗日 ⇒ 柯西 | 条件逐步放宽的包含关系 |
| e^x ≈ 1+x+x²/2（x→0） | 麦克劳林前三项，最常用 |
| 极值第二充分条件 | f'=0 时看 f'' 符号定极大极小 |
| 水平/铅直/斜渐近线 | 水平看 x→∞，铅直找无定义点，斜渐近线 k=lim f/x |
| K = |y''|/(1+y'²)^(3/2) | 曲率公式，直线 K=0 |