一、考纲考试要求（逐条对照）
| # | 考试要求 | 对应考点 |
|---|
| 1 | 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征 | 3.2 / 3.3 / 3.4 / 3.5 |
| 2 | 会求随机变量函数的数学期望 | 3.3 |
| 3 | 了解切比雪夫不等式 | 3.8 |
二、知识框架图
第四章 随机变量的数字特征
├─ 期望 EX：离散 Σxp、连续 ∫xf dx；线性性质 E(aX+b)=aEX+b
├─ 函数期望 E[g(X)]：Σg(xᵢ)pᵢ 或 ∫g(x)f(x)dx（不必先求 g(X) 的分布）
├─ 方差 DX = E(X²) − (EX)²；D(aX+b)=a²DX；标准差 √DX
├─ 矩：原点矩 E(Xᵏ)、中心矩 E[(X−EX)ᵏ]
├─ 协方差 Cov(X,Y)=E(XY)−EX·EY；相关系数 ρ=Cov/(σₓσᵧ)，|ρ|≤1
└─ 切比雪夫不等式：P{|X−EX|≥ε} ≤ DX/ε²
主线提示：数字特征的计算本质上只有两个原始量——EX 与 E(X²)，方差、协方差都由它们派生。所以"先求 E(X)、E(X²)、E(XY)"是万能路径。常用分布的期望、方差表必须背熟。
三、数学期望
1. 期望的定义 必考
离散型：EX = Σᵢ xᵢ·pᵢ（要求 Σ|xᵢ|pᵢ < +∞）
连续型：EX = ∫(−∞→+∞) x·f(x) dx（要求 ∫|x|f(x)dx < +∞）
二维：EX = ΣᵢΣⱼ xᵢ·pᵢⱼ；EY = ΣᵢΣⱼ yⱼ·pᵢⱼ（或连续型用边缘密度）
2. 期望的性质 必考
① E(C) = C（常数的期望是它本身）
② E(aX + b) = aEX + b；E(aX + bY + c) = aEX + bEY + c（线性）
③ 若 X、Y 独立，则 E(XY) = EX·EY（独立充分而非必要）
易错：E(XY)=EX·EY 只在 X、Y 独立（或不相关）时成立，一般不能拆！而 E(X+Y)=EX+EY 对任意 X、Y 恒成立（无需独立）。这是最常考的性质辨析点。
四、随机变量函数的期望 必考
一维：E[g(X)] = Σ g(xᵢ)pᵢ（离散）；E[g(X)] = ∫ g(x)f(x)dx（连续）
二维：E[g(X,Y)] = ΣΣ g(xᵢ,yⱼ)pᵢⱼ；E[g(X,Y)] = ∫∫ g(x,y)f(x,y)dxdy
关键思想：求 E[g(X)] 不必先求 g(X) 的分布，直接用 X 的分布律/密度积分即可，省去一步。典型：E(X²)、E(1/X)、E(|X|)、E(XY) 全用此公式。
注意：E(g(X)) ≠ g(EX) 一般情形（除非 g 是线性函数）。如 E(X²) ≠ (EX)²，差值正是方差。
五、方差与标准差
1. 方差定义 必考
DX = E[(X − EX)²] = E(X²) − (EX)²
标准差（均方差）：σ(X) = √(DX)
- DX ≥ 0；DX = 0 ⟺ P{X=EX}=1（X 以概率 1 为常数）。
- 常用公式：D(aX + b) = a²DX；D(C)=0。
2. 方差的性质 必考
D(X ± Y) = DX + DY ± 2Cov(X,Y)
若 X、Y 独立（或不相关），则 D(X±Y) = DX + DY（注意与"±"无关，都是加）
D(aX ± bY) = a²DX + b²DY ± 2ab·Cov(X,Y)
易错：① D(X−Y)=DX+DY（独立时），不是 DX−DY！② 方差无"线性可加"：D(aX+b)=a²DX，系数要平方；③ 若 X、Y 不独立，D(X±Y) 必须带协方差项，不能直接相加。
六、常用分布的期望与方差 必背
| 分布 | 记号 | EX | DX |
|---|
| 0-1 分布 | B(1,p) | p | p(1−p) |
| 二项分布 | B(n,p) | np | np(1−p) |
| 几何分布 | Ge(p) | 1/p | (1−p)/p² |
| 超几何分布 | N,M,n | n·M/N | n(M/N)(1−M/N)(N−n)/(N−1) |
| 泊松分布 | P(λ) | λ | λ |
| 均匀分布 | U(a,b) | (a+b)/2 | (b−a)²/12 |
| 指数分布 | E(λ) | 1/λ | 1/λ² |
| 正态分布 | N(μ,σ²) | μ | σ² |
记忆技巧：泊松"期望=方差=λ"；指数"期望=方差开方=1/λ"；二项"np 与 np(1−p)"；均匀方差 (b−a)²/12。二维正态中 ρ 不影响边缘的期望方差。
七、矩 低频（了解）
k 阶原点矩：νₖ = E(Xᵏ)
k 阶中心矩：μₖ = E[(X − EX)ᵏ]
一阶原点矩=EX；二阶中心矩=DX
应用：矩估计法（第七章）用样本矩估计总体矩；E(X²)=ν₂ 由二阶原点矩给出，是连接方差与矩的桥梁。
八、协方差与相关系数 必考
1. 协方差
Cov(X,Y) = E[(X−EX)(Y−EY)] = E(XY) − EX·EY
性质：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；Cov(aX,bY)=ab·Cov(X,Y)
Cov(X₁+X₂, Y) = Cov(X₁,Y) + Cov(X₂,Y)
Cov(X, X) = DX
2. 相关系数
ρ_XY = Cov(X,Y) / (σₓ·σᵧ) （σₓ,σᵧ > 0）
- 性质：|ρ| ≤ 1；|ρ|=1 ⟺ 存在常数 a,b（a≠0）使 P{Y=aX+b}=1（X、Y 依概率 1 线性相关）。
- ρ>0 正相关、ρ<0 负相关、ρ=0 不相关。
- 不相关 ⟺ Cov=0 ⟺ E(XY)=EX·EY ⟺ ρ=0。
- 独立 ⇒ 不相关；不相关 ⇏ 独立。
易错：① 不相关只表示"没有线性关系"，不代表独立；② ρ=±1 是"依概率 1 线性相关"而非"函数相关"；③ 计算 Cov 先求 E(XY)、EX、EY 三件事，别漏 E(XY)；④ 二维正态中 ρ 就是相关系数，ρ=0 时独立（不相关与独立等价）。
九、切比雪夫不等式 高频（小题）
设 EX=μ，DX=σ²，则对任意 ε>0：
P{|X − μ| ≥ ε} ≤ σ²/ε² （等价地 P{|X−μ| < ε} ≥ 1 − σ²/ε²）
- 用途：只知期望与方差时估计概率下界/上界；证明大数定律（第五章）的工具。
- 变形：取 ε=kσ：P{|X−μ| ≥ kσ} ≤ 1/k²。
注意：切比雪夫不等式给出的界偏松（如 k=2 时 ≤1/4），仅用于"无分布信息时的粗略估计"，实际概率常比界小得多。题目若给 EX、DX 求概率范围，直接套公式。
十、高频考点与易错点
考点 1：期望方差直接计算
由分布律/密度求 EX、E(X²)、DX；分段密度积分定限要准。
考点 2：函数期望
E[g(X)] 用原分布积分；E(XY) 用联合分布，不必先求 Z=XY 的分布。
考点 3：方差性质组合
D(aX+bY)=a²DX+b²DY±2abCov；独立时 D(X−Y)=DX+DY。
考点 4：协方差与相关系数
Cov=E(XY)−EXEY；|ρ|≤1；ρ=±1 线性相关；不相关≠独立。
考点 5：常用分布期望方差
八个分布的表必须默写；泊松 λ、指数 1/λ、二项 np。
考点 6：切比雪夫不等式
P{|X−μ|≥ε}≤σ²/ε²；给 EX、DX 估概率范围；大数定律证明基础。
易错点清单（考前必看）
- E(XY)=EX·EY 需独立/不相关，而 E(X+Y)=EX+EY 恒成立，二者别混。
- D(X−Y)=DX+DY（独立时），不是DX−DY。
- D(aX+b)=a²DX，系数平方；E(aX+b)=aEX+b，系数不平方。
- DX=E(X²)−(EX)² 由 E(X²) 与 EX 计算，别只算 EX。
- 不相关 ≠ 独立；独立 ⇒ 不相关，反之不成立（反例 Y=X²）。
- ρ 的分母是标准差乘积 σₓσᵧ，不是方差乘积。
- E(X²) ≠ (EX)²；E(1/X) ≠ 1/EX。
- 二维密度求 EX、EY 可直接用边缘密度，或用联合密度双重积分。
- 切比雪夫不等式方向：是"≤"上界，别写反。
- 几何分布 EX=1/p（k 从 1 计）；若定义 k 从 0 计则 EX=(1−p)/p，看清定义。
十一、常用结论速记表
| 结论 | 记忆要点 |
|---|
| DX = E(X²) − (EX)² | 平方的期望减期望的平方 |
| E(aX+bY+c) = aEX+bEY+c | 期望线性，无条件成立 |
| D(aX±bY)=a²DX+b²DY±2abCov | 独立时协方差项为 0 |
| 泊松 P(λ) | EX=DX=λ |
| 指数 E(λ) | EX=1/λ，DX=1/λ² |
| 均匀 U(a,b) | EX=(a+b)/2，DX=(b−a)²/12 |
| 二项 B(n,p) | EX=np，DX=np(1−p) |
| Cov(X,Y)=E(XY)−EXEY | 协方差核心公式 |
| ρ=Cov/(σₓσᵧ)，|ρ|≤1 | ρ=±1 线性相关 |
| P{|X−μ|≥ε}≤σ²/ε² | 切比雪夫不等式 |