一、考纲考试要求（逐条对照）
| # | 考试要求 | 对应考点 |
|---|
| 1 | 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率 | 3.1 |
| 2 | 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用 | 3.2 / 3.3 |
| 3 | 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布 | 3.4 |
| 4 | 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 λ(λ>0) 的指数分布的密度函数为 f(x)=λe^(−λx)（x>0） | 3.5 |
| 5 | 会求随机变量函数的分布 | 3.6 |
二、知识框架图
第二章 随机变量及其分布
├─ 随机变量 X：把样本点映射为实数
├─ 分布函数 F(x)=P{X≤x}：单调不减 / 右连续 / F(−∞)=0 / F(+∞)=1
├─ 离散型：分布律 pᵢ=P{X=xᵢ} → 0-1、二项 B(n,p)、几何、超几何、泊松 P(λ)
├─ 泊松定理：n 大 p 小，B(n,p) ≈ P(np)
├─ 连续型：概率密度 f(x)≥0、∫f=1 → 均匀 U(a,b)、指数 E(λ)、正态 N(μ,σ²)
└─ 随机变量函数的分布：Y=g(X) → 离散列表法 / 连续公式法或分布函数法
主线提示：一切概率计算都能统一到分布函数 F(x)=P{X≤x} 上。离散看分布律、连续看密度；两者通过 F 沟通。随机变量函数分布的"分布函数法"是万能方法，必须优先掌握。
三、随机变量与分布函数
1. 随机变量概念 中频
设随机试验的样本空间为 Ω，若 X=X(ω) 是定义在 Ω 上的单值实值函数，则称 X 为随机变量。随机变量把"事件"翻译为"数集"：事件 {X∈B} = {ω : X(ω)∈B}。
2. 分布函数 必考
F(x) = P{X ≤ x}，x∈(−∞, +∞)
- 性质：① 单调不减；② 0 ≤ F(x) ≤ 1，F(−∞)=0，F(+∞)=1；③ 右连续：F(x+0)=F(x)；④ 对连续型，P{a<X≤b}=F(b)−F(a)；P{X=a}=F(a)−F(a−0)。
- 用 F 计算事件概率：P{X<a}=F(a−0)；P{X≥a}=1−F(a−0)；P{X>a}=1−F(a)；P{a<X≤b}=F(b)−F(a)；P{X=a}=F(a)−F(a−0)。
易错：① 分布函数是"≤"下的累积概率；② P{X<a}=F(a−0)（取左极限）与 P{X≤a}=F(a) 在离散点处不同；③ 右连续是分布函数的基本要求（考研判断"是不是分布函数"的题眼）；④ 连续型下 P{X=a}=0，离散型下 P{X=a}=pᵢ≠0，两者完全不同。
四、离散型随机变量及其分布律
1. 分布律 必考
P{X = xᵢ} = pᵢ，i = 1,2,…；满足 pᵢ ≥ 0，Σ pᵢ = 1
分布函数 F(x) = Σ(xᵢ≤x) pᵢ（阶梯函数，在 xᵢ 处跳跃 pᵢ）
列表：X | x₁ x₂ … xₙ；P | p₁ p₂ … pₙ。求概率 P{X∈B} = 把落在 B 内 xᵢ 的 pᵢ 相加。
2. 分布律与分布函数互求 中频
由分布律写 F：分段相加；由 F 写分布律：跳跃点即取值点，跳跃高度即概率 pᵢ = F(xᵢ) − F(xᵢ−0)。
五、常用离散型分布 必考
| 分布 | 记号 / 参数 | 分布律 P{X=k} | 应用背景 |
|---|
| 0-1 分布 | X~B(1,p) | P{X=1}=p，P{X=0}=1−p | 一次试验成功与否 |
| 二项分布 | X~B(n,p) | C(n,k)·pᵏ(1−p)^(n−k)，k=0..n | n 重伯努利中成功次数 |
| 几何分布 | X~Ge(p) | P{X=k}=(1−p)^(k−1)·p，k=1,2,… | 首次成功所需试验次数（无记忆性） |
| 超几何分布 | N 个产品含 M 个次品，抽 n 个 | P{X=k}=C(M,k)·C(N−M,n−k)/C(N,n) | 不放回抽样中的次品数 |
| 泊松分布 | X~P(λ) | P{X=k}=λᵏ·e^(−λ)/k!，k=0,1,… | 稀有事件计数：电话呼叫数、放射性衰变等 |
注意：几何分布是"首次成功"（k 从 1 开始，失败 (1−p)^(k−1) 次后成功一次），具有无记忆性 P{X>m+n|X>m}=P{X>n}；超几何分布对应不放回抽样（放回抽样则为二项分布）。
六、泊松定理（泊松近似） 中频
当 n 很大、p 很小（一般 n ≥ 100，p ≤ 0.1，np = λ 适中）时：
C(n,k)·pᵏ(1−p)^(n−k) ≈ λᵏ·e^(−λ)/k!，其中 λ = np
应用：二项分布计算量大时（大 n 小 p）用泊松分布近似；考研中常见"保险赔付人数""设备故障数""次品数"等稀有事件场景。近似的前提是 λ=np 保持适中（不要太大），否则误差大。
七、连续型随机变量与常用分布
1. 概率密度及其性质 必考
f(x) ≥ 0； ∫(−∞→+∞) f(x) dx = 1
F(x) = ∫(−∞→x) f(t) dt； f(x) = F'(x)（在 f 连续点）
P{a ≤ X ≤ b} = P{a < X < b} = ∫(a→b) f(x) dx
- 连续型随机变量取任一点概率为 0：P{X=a}=0，但 {X=a} 并非不可能事件。
- 密度函数在个别点上改变取值不影响分布（不影响积分值）。
易错：① f(x) 可以大于 1（密度不是概率）；② 求常数、求 F、求区间概率都要靠"∫f=1"这条归一化条件；③ F 连续但不一定处处可导，f=F' 只在连续点成立。
2. 均匀分布 U(a,b) 高频
3. 指数分布 E(λ) 必考
f(x) = λe^(−λx)，x>0（λ>0）；其余为 0
F(x) = 1 − e^(−λx)，x>0；F(x)=0，x≤0
- 应用：寿命、等待时间模型。
- 无记忆性：P{X>s+t | X>s} = P{X>t}（"用过的元件与新元件剩余寿命分布相同"）。
- P{X>x} = e^(−λx)。
易错：指数分布参数写法有两种：f(x)=λe^(−λx)（考研默认，EX=1/λ）或 f(x)=e^(−x/θ)/θ（EX=θ）。看清题目给的是哪个。无记忆性是指数分布独有性质（几何分布是它的离散版）。
4. 正态分布 N(μ, σ²) 必考（重中之重）
f(x) = 1/(√(2π)·σ)·e^(−((x−μ)²)/(2σ²))，−∞<x<+∞
标准化：Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1)，φ(x)=1/√(2π)·e^(−x²/2)
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
- 3σ 原则：P{|X−μ|<σ}≈0.6827，P{|X−μ|<2σ}≈0.9545，P{|X−μ|<3σ}≈0.9973。
- 对称性：密度关于 x=μ 对称；P{X<μ}=P{X>μ}=1/2。
- 线性不变性：X~N(μ,σ²) ⇒ aX+b ~ N(aμ+b, a²σ²)（a≠0）。
- 查表求概率：P{a<X≤b} = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)。
易错：① 标准化时分子是 X−μ，分母是 σ（不是 σ²）；② 2σ 区间概率 0.9545、3σ 区间概率 0.9973 要熟记（选择题直接给）；③ 正态分布参数 μ=E(X)、σ²=D(X)，σ 是标准差，题目给 N(μ,σ²) 时 σ² 才是方差。
八、随机变量函数的分布
1. 离散型：Y=g(X) 高频
列表法：把 X 的取值 xᵢ 代入得 yᵢ=g(xᵢ)，概率不变；若多个 xᵢ 对应同一 y，则合并概率。易错：合并时概率相加，且要重新检查 Σp=1。
2. 连续型：Y=g(X) 必考
分布函数法（万能）：F_Y(y) = P{Y ≤ y} = P{g(X) ≤ y}，解不等式并积分；f_Y(y) = F_Y'(y)。
公式法（g 严格单调）：若 y=g(x) 严格单调、可导、g'(x)≠0，反函数 x=h(y)，则
f_Y(y) = f_X(h(y))·|h'(y)|（在 y 的取值范围内；范围外为 0）
典型结论：① X~U(0,1) ⇒ Y=aX+b 仍均匀；② X~N(μ,σ²) ⇒ Y=(X−μ)/σ~N(0,1)；③ X~N(0,1) ⇒ Y=X² ~ χ²(1)；④ X~E(λ) ⇒ Y=e^(−λX)~U(0,1)。
易错：① 公式法必须判断 g 严格单调，非单调（如 Y=X²、Y=sin X）用分布函数法分段讨论；② 写清 f_Y 的定义域（y 的范围），范围外密度为 0；③ 公式法不要丢绝对值。
九、高频考点与易错点
考点 1：分布函数求概率
用 F(b)−F(a−0) 等四式求各种区间概率；判断右连续与单调性。
考点 2：密度函数求参数与 F
归一化 ∫f=1 求未知常数；分段积分写 F；F 的连续性检查。
考点 3：正态标准化
Z=(X−μ)/σ；对称性 Φ(−x)=1−Φ(x)；3σ 区间概率背熟。
考点 4：指数分布无记忆性
P{X>s+t|X>s}=P{X>t}；与几何分布类比记忆。
考点 5：随机变量函数分布
离散合并概率；连续用分布函数法；单调时用公式法带绝对值。
考点 6：泊松近似二项
n 大 p 小，λ=np；用于稀有事件概率的快速近似计算。
易错点清单（考前必看）
- 分布函数定义用 P{X≤x}，右连续；P{X<a}=F(a−0)，两者在离散点不同。
- 连续型 P{X=a}=0，但"概率为 0 的事件"不是不可能事件。
- 密度 f(x) 可大于 1；判断 f 是否为密度的两个条件：非负 + ∫f=1。
- 标准化：Z=(X−μ)/σ，分母是 σ 不是 σ²。
- 指数分布参数写法两种（λ 型与 θ 型），看清 EX=1/λ 或 EX=θ。
- 二项分布 B(n,p) 与超几何分布：放回是二项、不放回是超几何。
- 几何分布 k 从 1 开始（首次成功）；分布律是 (1−p)^(k−1)p。
- Y=g(X) 非单调时不能用公式法硬套，要用分布函数法分段。
- 离散型 Y=g(X) 合并相同取值时要加概率，并重新归一化检查。
- 写 f_Y(y) 时务必注明 y 的定义域，范围外为 0。
十、常用结论速记表
| 结论 | 记忆要点 |
|---|
| F(x)=P{X≤x} | 右连续、单调不减、F(−∞)=0、F(+∞)=1 |
| P{a<X≤b}=F(b)−F(a) | 半开区间用右连续端点 |
| B(n,p)：P{k}=C(n,k)pᵏ(1−p)^(n−k) | n 次试验成功 k 次 |
| P(λ)：P{k}=λᵏe^(−λ)/k! | 泊松，λ=均值=方差 |
| 指数 E(λ)：F(x)=1−e^(−λx) | 无记忆性；P{X>x}=e^(−λx) |
| 均匀 U(a,b)：f=1/(b−a) | 区间长度倒数；概率=长度比 |
| 正态标准化 Z=(X−μ)/σ | Φ(−x)=1−Φ(x)；3σ≈99.73% |
| 泊松近似：B(n,p)≈P(np) | n 大 p 小 λ 适中 |
| Y=g(X) 公式法 | f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|，须单调 |
| X~N(0,1) ⇒ X²~χ²(1) | 卡方分布第一例，后面章节用 |